Esercizio 1.18 - trasformazione triangolo-stella

Testo (Eserciziario, es. 1.18). Tre resistori a triangolo $R_{12}$, $R_{23}$, $R_{31}$ tra i nodi 1, 2, 3 e tre resistori a stella $R_1$, $R_2$, $R_3$ con centro stella O. Calcolare $R_1$, $R_2$, $R_3$ che rendono le due configurazioni equivalenti, per:

1. $R_{12} = 20\ \Omega$, $R_{23} = 80\ \Omega$, $R_{31} = 100\ \Omega$;
2. $R_{12} = R_{23} = R_{31} = 60\ \Omega$.

Risultati: (1) $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 8\ \Omega$, $R_3 = 40\ \Omega$; (2) $R_1 = R_2 = R_3 = 20\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →. È l'operazione inversa di Esercizio 1.17 - trasformazione stella-triangolo.

Le formule triangolo → stella

$$R_1 = \frac{R_{12}\, R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}, \qquad R_2 = \frac{R_{12}\, R_{23}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}, \qquad R_3 = \frac{R_{23}\, R_{31}}{R_{12} + R_{23} + R_{31}}$$

Il resistore della stella attaccato al nodo $k$ ha al numeratore il prodotto dei due lati del triangolo che toccano il nodo kPer il nodo 1 sono R12 e R31; il lato R23 non tocca il nodo 1 e compare solo nel denominatore., al denominatore la somma dei tre lati.

Caso 1

Denominatore comune: $20 + 80 + 100 = 200\ \Omega$.

$$R_1 = \frac{20 \cdot 100}{200} = 10\ \Omega, \qquad R_2 = \frac{20 \cdot 80}{200} = 8\ \Omega, \qquad R_3 = \frac{80 \cdot 100}{200} = 40\ \Omega$$

Controllo. Tra 1 e 2 (nodo 3 libero): stella $R_1 + R_2 = 18\ \Omega$; triangolo $20 \parallel (80 + 100) = \frac{20 \cdot 180}{200} = 18\ \Omega$ ✓.

Controllo con la trasformazione inversa. Ripartendo dalla stella $10, 8, 40$: somma dei prodotti $80 + 320 + 400 = 800$, quindi $R_{12} = 800/40 = 20$, $R_{23} = 800/10 = 80$, $R_{31} = 800/8 = 100$ ✓. Si torna al triangolo di partenza.

Caso 2

$$R_1 = R_2 = R_3 = \frac{60 \cdot 60}{180} = 20\ \Omega$$

Caso simmetrico: $R_Y = R_\Delta / 3 = 60/3 = 20\ \Omega$.

Osservazione. I resistori della stella sono sempre più piccoli dei lati del triangolo che toccano lo stesso nodo: $R_1 = R_{12} \cdot \frac{R_{31}}{\Sigma}$ e la frazione $R_{31}/\Sigma$ è minore di 1.