Esercizio 1.39 - sovrapposizione con tre generatori

Testo (Eserciziario, es. 1.39). Rete a regime stazionario con $J_1 = 2\ \mathrm A$, $J_2 = 10\ \mathrm A$, $E = 40\ \mathrm V$, $R_1 = 60\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$, $R_3 = 40\ \Omega$. Calcolare la tensione $V_{AB}$.

Figura (descritta). Quattro nodi: A (in alto a sinistra), X (in alto a destra), B (in basso a sinistra), C (in basso a destra).

Risultato: $V_{AB} = 140\ \mathrm V$.

Teoria: Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →, Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →.

Tre generatori, tre sottoreti. In ognuna si calcola $V_{AB}$ con il $+$ su A.

1. Solo $J_1$ ($E$ in cortocircuito, $J_2$ aperto)

Con $E$ cortocircuitato, A e X sono lo stesso nodo. Da A verso B ci sono due percorsi: $R_1$ diretto, oppure $R_3$ (da X = A a C) seguito da $R_2$ (da C a B), in serie: $R_A = R_3 + R_2 = 60\ \Omega$.

$$R_B = R_1 \parallel R_A = \frac{60 \cdot 60}{120} = 30\ \Omega, \qquad V'_{AB} = J_1 R_B = 2 \cdot 30 = 60\ \mathrm V$$

2. Solo $J_2$ ($E$ in cortocircuito, $J_1$ aperto)

$J_2$ prende corrente da B e la porta in C. Da C può tornare a B direttamente attraverso $R_2$, oppure facendo il giro C → X (= A) → B attraverso $R_3$ e $R_1$ in serie: $R_C = R_3 + R_1 = 100\ \Omega$.

Partitore di corrente tra $R_2$ e $R_C$: nel ramo $R_C$ passa

$$I''_{R1} = J_2 \frac{R_2}{R_2 + R_C} = 10 \cdot \frac{20}{120} = \frac53\ \mathrm A$$

e in $R_1$ questa corrente scende da A a B (il giro è C → X → A → B). Quindi A è più alto di B:

$$V''_{AB} = R_1\, I''_{R1} = 60 \cdot \frac53 = 100\ \mathrm V$$

3. Solo $E$ ($J_1$ e $J_2$ aperti)

Resta un'unica maglia: $E$, $R_3$, $R_2$, $R_1$. La corrente esce dal $+$ di $E$ (in X), scende in $R_3$, va verso sinistra in $R_2$, risale in $R_1$ da B ad A:

$$I''' = \frac{E}{R_1 + R_2 + R_3} = \frac{40}{120} = \frac13\ \mathrm A, \qquad V'''_{AB} = -R_1 I''' = -20\ \mathrm V$$

(in $R_1$ la corrente va da B ad A, quindi B è più alto: segno meno).

4. Somma

$$\boxed{V_{AB} = 60 + 100 - 20 = 140\ \mathrm V}$$

Ogni generatore agisce una volta solaNella sovrapposizione ogni generatore deve comparire esattamente in una sottorete; i contributi si sommano con il segno dato dal riferimento comune.: tre sottoreti per tre generatori.

Controllo con l'analisi nodale (B riferimento, $U_X = U_A + 40$). LKC sulla superficie che racchiude A, il GIT e X: entra $J_1 = 2$, escono $U_A/60$ e $(U_X - U_C)/40$. LKC in C: entra $J_2 = 10$ e $(U_X - U_C)/40$, esce $U_C/20$. Risolvendo: $U_A = 140\ \mathrm V$, $U_C = 193{,}3\ \mathrm V$ ✓.