Esercizio 1.19 - resistenza equivalente, rete a tre rami

Testo (Eserciziario, es. 1.19). Calcolare la resistenza equivalente tra A e B della rete in figura (valori in ohm).

Figura (descritta). Un filo inferiore che coincide con il nodo B. In alto tre nodi: L (a sinistra), A (al centro) e D (a destra).

          3      A      4
   L ●──/\/\/────●────/\/\/───● D
   │   │         │            │
   2   2         6            8
   │   │         │            │
   └───┴─────────●────────────┘
                 B

Risultato: $R_{eq} = 2\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →, Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →.

1. I due resistori da $2\ \Omega$

Sono entrambi tra L e B: stessi due nodi, quindi in parallelo. Due resistori uguali in paralleloSi sommano le conduttanze: G + G = 2G, cioè la resistenza si dimezza. danno la metà:

$$2 \parallel 2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} = 1\ \Omega$$

2. Le due serie

• Ramo di sinistra: dopo il passo 1, nel nodo L arrivano solo il resistore da $1\ \Omega$ (verso B) e quello da $3\ \Omega$ (verso A). Nessun altro collegamento, quindi sono in serie: $3 + 1 = 4\ \Omega$, tra A e B.
• Ramo di destra: nel nodo D arrivano solo $4\ \Omega$ e $8\ \Omega$: in serie, $4 + 8 = 12\ \Omega$, tra A e B.

Perché non si potevano fare prima queste serie a sinistra? Nel nodo L, all'inizio, arrivavano tre resistori (i due da $2$ e il $3$): la serie non era ancora lecita. Prima andava fatto il parallelo.

3. Il parallelo finale

Ora ci sono tre resistori, tutti tra A e B: $4\ \Omega$, $6\ \Omega$, $12\ \Omega$. Sono in parallelo; con tre resistori conviene sommare le conduttanze (denominatore comune 12):

$$G_{eq} = \frac14 + \frac16 + \frac{1}{12} = \frac{3 + 2 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac12\ \mathrm S \qquad\Longrightarrow\qquad R_{eq} = 2\ \Omega$$

Controllo di buon senso. Il risultato è minore della più piccola delle tre resistenze in parallelo ($4\ \Omega$), come deve essere.

Errori comuni

• Fare subito la serie $3 + 2$ ignorando che in L arriva anche il secondo resistore da $2\ \Omega$.
• Usare "prodotto diviso somma" con tre resistori: $\frac{4 \cdot 6 \cdot 12}{4 + 6 + 12}$ non è il parallelo (darebbe circa $13\ \Omega$, più di ciascuno dei tre, assurdo).