Esercizio 1.38 - sovrapposizione con un GIT e un GIC

Testo (Eserciziario, es. 1.38). Rete a regime stazionario con $J = 4\ \mathrm A$, $E = 20\ \mathrm V$, $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$. Calcolare la tensione $V_{AB}$.

Figura (descritta). Filo in basso = nodo B. A sinistra il GIC $J$ (freccia in su) e il resistore $R_1$, entrambi tra B e il nodo A in alto. Dal nodo A parte verso destra il GIT $E$ ($-$ verso A, $+$ verso destra); poi $R_2$ scende dal lato destro fino a B.

   A ●────(−E+)────┐
   │   │           │
  (↑)J R1          R2
   │   │           │
   └───┴───●───────┘
           B

Risultato: $V_{AB} = 10\ \mathrm V$.

Teoria: Principio di sovrapposizione degli effettiIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →.

Due generatori: si fanno agire uno alla volta e si sommano i due contributi a $V_{AB}$ (sempre con il $+$ su A).

1. Agisce solo $J$ ($E$ spento = cortocircuito)

Con $E$ sostituito da un filo, $R_2$ va direttamente da A a B: $R_1$ e $R_2$ sono in parallelo sotto il GIC.

$$R_1 \parallel R_2 = \frac{10 \cdot 10}{20} = 5\ \Omega, \qquad V'_{AB} = J \cdot 5 = 20\ \mathrm V$$

$J$ spinge la corrente verso A, quindi A è a potenziale più alto: segno $+$.

2. Agisce solo $E$ ($J$ spento = circuito aperto)

Togliendo il GIC resta un'unica maglia: $E$, $R_2$, $R_1$. La corrente esce dal $+$ di $E$ (a destra), scende in $R_2$ fino a B, risale in $R_1$ fino ad A e rientra nel $-$ di $E$:

$$I'' = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{20}{20} = 1\ \mathrm A$$

In $R_1$ la corrente va da B ad A, quindi B è a potenziale più alto di A:

$$V''_{AB} = -R_1 I'' = -10\ \mathrm V$$

(con il partitore: la tensione su $R_1$ con il $+$ in basso è $E \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 10\ \mathrm V$, ed è opposta a $V_{AB}$V_AB ha il + su A, in alto; la tensione data dal partitore ha il + dalla parte da cui entra la corrente, cioè in basso.).

3. Somma

$$\boxed{V_{AB} = V'_{AB} + V''_{AB} = 20 - 10 = 10\ \mathrm V}$$

Controllo con l'analisi nodale (B riferimento; incognite $U_A$ e il potenziale $U_D$ del nodo a destra, legato dal GIT: $U_D = U_A + 20$). La LKC sulla superficie che racchiude A, il GIT e D: entra $J = 4$, escono $U_A/10$ e $U_D/10$:

$$4 = \frac{U_A}{10} + \frac{U_A + 20}{10} \quad\Longrightarrow\quad 40 = 2U_A + 20 \quad\Longrightarrow\quad U_A = 10\ \mathrm V \ ✓$$