Esercizio 1.23 - resistenza equivalente e corrente erogata

Testo (Eserciziario, es. 1.23). Rete in regime stazionario: un bipolo adinamico $b_1$ con tensione $V = 240\ \mathrm V$ (il $+$ sul morsetto A) alimenta una rete di 7 resistori, con $R_1 = 40\ \Omega$, $R_2 = 30\ \Omega$, $R_3 = 20\ \Omega$, $R_4 = 20\ \Omega$, $R_5 = 30\ \Omega$, $R_6 = 20\ \Omega$, $R_7 = 10\ \Omega$. La corrente $I$ esce da $b_1$ ed entra in A. Calcolare:

1. la resistenza $R_{eq}$ alla porta AB;
2. la corrente $I$.

Figura (descritta). Una scala con tre pioli verticali. Il filo superiore parte da A, quello inferiore da B.

Risultati: $R_{eq} = 24\ \Omega$, $I = 10\ \mathrm A$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

1. Resistenza equivalente, dal fondo

Terzo piolo. Il percorso C → E → F → D passa per $R_5$, $R_3$, $R_7$, e i nodi E ed F non hanno altri collegamenti: serie.

$$R_{10} = R_5 + R_3 + R_7 = 30 + 20 + 10 = 60\ \Omega \quad \text{(tra C e D)}$$

Secondo piolo. Tra C e D ci sono $R_2$ e $R_{10}$: parallelo.

$$R_{11} = \frac{R_2\, R_{10}}{R_2 + R_{10}} = \frac{30 \cdot 60}{90} = 20\ \Omega$$

Ancora una serie. Il percorso A → C → D → B passa per $R_4$, $R_{11}$, $R_6$: serie.

$$R_{12} = R_4 + R_{11} + R_6 = 20 + 20 + 20 = 60\ \Omega \quad \text{(tra A e B)}$$

Primo piolo. Tra A e B ci sono $R_1$ e $R_{12}$: parallelo.

$$\boxed{R_{eq} = \frac{R_1\, R_{12}}{R_1 + R_{12}} = \frac{40 \cdot 60}{100} = 24\ \Omega}$$

2. La corrente

Vista da $b_1$, tutta la rete è un resistore da $24\ \Omega$. Con i riferimenti della figura, $I$ entra in A dove c'è il $+$ di $V$: è la convenzione dell'utilizzatoreCorrente entrante dal morsetto +: per un resistore vale V = R·I senza segno meno. per la rete di resistori, quindi

$$\boxed{I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{240}{24} = 10\ \mathrm A}$$

3. Per esercizio: le correnti interne

Il bipolo equivalente dà solo $I$. Per le correnti interne si torna indietro passo per passo con i partitori:

• $I$ si divide tra $R_1$ e $R_{12}$: in $R_1$ passano $\frac{60}{100} \cdot 10 = 6\ \mathrm A$, in $R_{12}$ (cioè in $R_4$ e $R_6$) $\frac{40}{100} \cdot 10 = 4\ \mathrm A$;
• quei $4\ \mathrm A$ si dividono tra $R_2$ e $R_{10}$: in $R_2$ passano $\frac{60}{90} \cdot 4 = \frac83\ \mathrm A$, nel ramo $R_5$–$R_3$–$R_7$ passano $\frac{30}{90} \cdot 4 = \frac43\ \mathrm A$.

Controllo: la tensione su $R_1$ è $40 \cdot 6 = 240\ \mathrm V = V$ ✓; quella su $R_2$ è $30 \cdot \frac83 = 80\ \mathrm V$, uguale a $60 \cdot \frac43 = 80\ \mathrm V$ sul ramo in parallelo ✓.