Esercizio 1.3 - potenza di un tripolo

Testo (Eserciziario, es. 1.3). Il tripolo (n-polo con $n = 3$) in figura è in regime stazionario, con $I_1 = 5\ \mathrm A$, $I_2 = 3\ \mathrm A$, $V_{12} = 10\ \mathrm V$, $V_{23} = 20\ \mathrm V$. Calcolare la totale potenza entrante nel tripolo $P_e$.

Figura (descritta). Tripolo con morsetti 1 (sinistra), 2 (destra), 3 (in alto). $I_1$ entra dal morsetto 1, $I_2$ entra dal morsetto 2. $V_{12}$ ha il $+$ su 1, $V_{23}$ ha il $+$ su 2.

Risultato: $P_e = 210\ \mathrm W$.

1. L'idea: vedere il tripolo come doppio bipolo

La potenza si definisce sulle porte. Un tripolo non ha porte "naturali", ma ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipoloSi sceglie un morsetto comune: le correnti degli altri morsetti si richiudono tutte attraverso di esso, e ogni altro morsetto forma una porta con quello comune.Bipoli, n-poli e porte elettriche →: si sceglie un morsetto comune e gli altri due formano ciascuno una porta con esso.

Quale morsetto scegliere? Conviene il morsetto 3, perché le correnti note $I_1$ e $I_2$ sono quelle degli altri due morsetti: così sono già le correnti di porta, entrambe entranti, e la corrente del morsetto 3 ($I_3 = I_1 + I_2 = 8\ \mathrm A$, uscente) è la corrente di ritorno comune.

Porte: (1,3) con corrente $I_1$ e (2,3) con corrente $I_2$.

2. Le tensioni di porta

Con il $+$ sul morsetto non comune servono $V_{13}$ e $V_{23}$.

• $V_{23} = 20\ \mathrm V$ è già data.
• $V_{13}$ non è data, ma si ottiene con la LKT sul giro $1 \to 2 \to 3$: le tensioni sono differenze di potenziale, quindi $$V_{13} = u_1 - u_3 = (u_1 - u_2) + (u_2 - u_3) = V_{12} + V_{23} = 10 + 20 = 30\ \mathrm V$$

3. Convenzione su ciascuna porta

Su entrambe le porte la corrente entra nel morsetto con il $+$ (entra in 1 dove $V_{13}$ ha il $+$, entra in 2 dove $V_{23}$ ha il $+$): convenzione dell'utilizzatoreCorrente entrante dal + della tensione: il prodotto v·i è potenza entrante.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico → su tutte e due. I prodotti $V \cdot I$ sono quindi potenze entranti e si possono sommare direttamente.

4. Potenze

$$P_{13} = V_{13} \cdot I_1 = 30 \cdot 5 = 150\ \mathrm W \quad (\text{assorbita})$$

$$P_{23} = V_{23} \cdot I_2 = 20 \cdot 3 = 60\ \mathrm W \quad (\text{assorbita})$$

$$P_e = P_{13} + P_{23} = 150 + 60 = 210\ \mathrm W$$

Il tripolo assorbe $210\ \mathrm W$.

Verifica con un'altra scelta del morsetto comune

Il risultato non deve dipendere dal morsetto comune. Con il morsetto 2 come comune: porte (1,2) e (3,2), correnti entranti $I_1 = 5\ \mathrm A$ e $I_3' = -(I_1 + I_2) = -8\ \mathrm A$ (la corrente del morsetto 3, presa entrante, vale $-8$ perché in realtà esce). Tensioni: $V_{12} = 10\ \mathrm V$ e $V_{32} = -V_{23} = -20\ \mathrm V$.

$$P_e = V_{12} I_1 + V_{32} I_3' = 10 \cdot 5 + (-20)(-8) = 50 + 160 = 210\ \mathrm W \ ✓$$

Errori comuni

• Usare $V_{12}$ come tensione della porta (1,3): la tensione di porta va presa tra il morsetto e quello comune.
• Sommare anche un termine per il morsetto 3: la sua corrente è già il ritorno delle due porte.