Autoverifica Lezione 3 - domande e risposte

Testo. Le 14 domande di autoverifica del docente sulla lezione 3 ("Resistori e generatori elettrici"). Teoria: Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm →, Generatori elettrici, GIT e GATUn generatore contiene un campo non conservativo che spinge le cariche; a vuoto la sua tensione è uguale alla forza elettromotrice, a carico cala di Ri·I. Il GIT (v = e per ogni i) è il modello senza perdite, il GAT (V = E − Ri I) aggiunge la resistenza interna; collegando un carico si trova il punto di lavoro.Generatori elettrici, GIT e GAT →.

Resistori

1. Legge di Ohm e unità di misura? Con la convenzione dell'utilizzatore $V = RI$ (o $I = GV$, $G = 1/R$), con $R > 0$. $R$ in ohm ($\Omega = \mathrm{V/A}$), $G$ in siemens ($\mathrm S = \Omega^{-1}$).

2. Effetto Joule e potenza dissipata? La potenza assorbita da un conduttore ohmico, $P = VI = RI^2 = V^2/R = GV^2$, è sempre positiva e si trasforma in calore (dissipata). Esempio: $R = 5\ \Omega$, $I = 0{,}3\ \mathrm A$: $P = 0{,}45\ \mathrm W$.

3. Dimostrare la passività di un resistore? Convenzione dell'utilizzatore: $p(t) = v\,i = R\,i^2 \ge 0$ per ogni $t$ (con $R > 0$). Il lavoro uscente in qualunque intervallo è $\mathcal L_u = -\int p\,dt \le 0$, e il resistore non immagazzinando energia ha $w(t_0) - w(t) = 0$: la condizione di passività $\mathcal L_u \le w(t_0) - w(t)$ è verificata.

4. Resistenza di un tratto cilindrico? $R = \rho\,\dfrac{\ell}{S}$, con $\ell$ lunghezza, $S$ sezione, $\rho$ resistività. Esempio: rame, $\ell = 10\ \mathrm m$, $S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2}$: $R \approx 0{,}113\ \Omega$.

5. Resistività, conducibilità, unità? $\rho$ in $\Omega\,\mathrm m$; $\gamma = 1/\rho$ in $\mathrm{S/m}$. Metalli $10^{-8} \div 10^{-6}\ \Omega\,\mathrm m$, isolanti $10^8 \div 10^{15}\ \Omega\,\mathrm m$.

6. Dipendenza dalla temperatura? $\rho = \rho_0\,(1 + \alpha(T - T_0))$; $\alpha > 0$ nei metalli, $\alpha < 0$ nei semiconduttori.

7. Legge di Ohm microscopica? $\mathbf E = \rho\,\mathbf J$ (o $\mathbf J = \gamma\,\mathbf E$) punto per punto; la densità di potenza dissipata è $\mathbf E \cdot \mathbf J = \rho J^2$ in $\mathrm{W/m^3}$. Integrando su un cilindro si ritrova $R = \rho\ell/S$.

Generatori

8. Perché nei generatori deve esistere un campo non conservativo? In regime stazionario le cariche circolano su percorsi chiusi e dissipano energia nei resistori. Un campo conservativo fa lavoro nullo su ogni percorso chiuso, quindi non può rimpiazzarla: serve un campo generatore $\mathbf E_g = d\mathbf F_g/dq$ non conservativo (di origine chimica, meccanica, luminosa, termica…).

9. Comportamento a vuoto e campi interni? A vuoto nessuna corrente esce; $\mathbf E_g$ separa le cariche, che si accumulano ai terminali e producono un campo coulombiano $\mathbf E_c$. All'equilibrio, dentro il generatore, il campo totale è nullo punto per punto: $\mathbf E_g = -\mathbf E_c$.

10. Forza elettromotrice e legame con la tensione a vuoto (dimostrazione)? $e = \int_{B,\ell}^{A} \mathbf E_g \cdot d\boldsymbol\ell$ (dentro il generatore, dal $-$ al $+$). La tensione a vuoto è $v_0 = \int_A^B \mathbf E_c \cdot d\boldsymbol\ell$; essendo $\mathbf E_c$ conservativo si può calcolare lungo una linea interna invertendo il verso: $v_0 = \int_B^A (-\mathbf E_c) \cdot d\boldsymbol\ell$. Dentro vale $-\mathbf E_c = \mathbf E_g$, quindi $v_0 = e$: la f.e.m. è la tensione misurata a vuoto da un voltmetro ideale.

11. Comportamento a carico? Con corrente nei morsetti la tensione differisce dalla f.e.m. per le perdite interne. Per molti generatori in regime stazionario (convenzione del generatore) $V = E - R_i I$.

12. Resistenza interna? $R_i = (E - V)/I$, la costante che lega la caduta di tensione interna alla corrente; rappresenta le dissipazioni dentro il generatore. Esempio: pila alcalina $R_i \approx 150\ \mathrm{m\Omega}$. La relazione lineare vale per correnti piccole rispetto a quella nominale.

13. Interpretazione energetica a carico? $VI = EI - R_i I^2$: $P_g = EI$ potenza generata (ceduta alle cariche), $P_d = R_i I^2$ potenza dissipata internamente, $P = VI = P_g - P_d$ potenza erogata al circuito. Se $V$ e $I$ sono discordi, $VI < 0$ e il generatore assorbe potenza.

14. Punto di lavoro? La coppia $(I, V)$ che soddisfa insieme l'equazione del generatore e quella del carico: graficamente l'intersezione delle due caratteristiche. Pila ($E = 1{,}5\ \mathrm V$, $R_i = 0{,}15\ \Omega$) e lampadina ($R = 5\ \Omega$): con il GIT $(0{,}3\ \mathrm A;\ 1{,}5\ \mathrm V)$, con il GAT $(0{,}291\ \mathrm A;\ 1{,}456\ \mathrm V)$.