Carica e corrente elettrica

Prima parte della lezione 1 ("Richiami di elettromagnetismo"). Seguito: Tensione elettrica e potenzialeLa tensione è l'integrale del campo elettrico lungo una linea orientata (in volt) ed è il lavoro elettrico per unità di carica; quando il campo è solo coulombiano, come in regime stazionario, non dipende dal percorso ed è una differenza di potenziale, e lungo un percorso chiuso vale zero.Tensione elettrica e potenziale →. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 1 - domande e risposte.

Da dove si parte: campi e reti

Tutti i fenomeni elettromagnetici sono descritti dalle equazioni di Maxwell:

$$\nabla \cdot \mathbf D = \rho_c \qquad \nabla \cdot \mathbf B = 0 \qquad \nabla \times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \qquad \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \frac{\partial \mathbf D}{\partial t}$$

Sono equazioni alle derivate parziali: le incognite ($\mathbf E$, $\mathbf J$, …) sono vettori che dipendono dal punto $P$ e dal tempo $t$. Risolverle è difficile e si fa con software dedicati (COMSOL, Ansys).

Il corso usa invece il modello "reti elettriche": si lavora con due sole grandezze scalari che dipendono solo dal tempo, la corrente $i(t)$ e la tensione $v(t)$, e con equazioni algebriche o differenziali ordinarie. Il prezzo è che servono ipotesi restrittive (vedi Componenti elettrici e modello a parametri concentratiUn componente è una regione di spazio chiusa da una superficie limite da cui escono terminali; in regime stazionario o quasi stazionario la corrente totale uscente da un componente è nulla e ogni tensione tra morsetti è una differenza di potenziale, e il circuito si descrive senza più dipendenza dallo spazio (parametri concentrati).Componenti elettrici e modello a parametri concentrati →). Corrente e tensione sono grandezze globali: si ottengono integrando i campi su una superficie (la corrente) o lungo una linea (la tensione). Questa nota spiega la prima.

Carica elettrica

• La materia, dal punto di vista elettromagnetico, è caratterizzata dalla carica elettrica $q$.
• Esistono due tipi di carica, positiva ($q^+ > 0$) e negativa ($q^- < 0$): cariche dello stesso segno si respingono, di segno opposto si attraggono.
• La carica di un corpo è la somma algebrica delle sue cariche: $q = q^+ + q^-$, con $q^{\pm} = \sum_k q_k^{\pm}$. Un corpo è neutro quando le due parti si compensano, non quando non ha cariche.
• Unità di misura nel Sistema Internazionale: il coulomb (C). L'elettrone ha carica $\approx -1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm C$.

Quanto è grande un coulomb? Per avere $-1\ \mathrm C$ servono $\frac{1}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \approx 6{,}24 \cdot 10^{18}$ elettroni: la carica di un singolo elettrone è minuscola, e per questo nella pratica la carica si tratta come una grandezza continua.

Densità di carica

Proprio perché la carica si tratta come continua, la si descrive con una densità, cioè quanta carica c'è "per unità di spazio" attorno a ogni punto.

Qui $d\tau$ è un volumetto infinitesimo attorno a $P$, $dS$ un pezzetto di superficie, $d\ell$ un pezzetto di linea. La densità lineare non compare nelle slide, ma si costruisce allo stesso modo (è la domanda 6 dell'autoverifica): carica divisa per lunghezza.

Come la carica, anche le densità si separano nei contributi positivo e negativo: $\rho_c = \rho_c^+ + \rho_c^-$ (e lo stesso per $\sigma_c$).

Corrente elettrica

Si prendono cariche in movimento e una superficie $S$ orientata, cioè con un versore normale $\mathbf n$ scelto da una delle due parti (la superficie può essere aperta o chiusa).

Sia $\Delta q$ la carica netta che attraversa $S$ nel tempo $\Delta t$:

$$\Delta q = \big(\text{carica che passa nel verso di } \mathbf n\big) - \big(\text{carica che passa nel verso opposto}\big)$$

dove ogni carica è presa con il suo segno. Si definisce intensità di corrente elettrica (o semplicemente corrente)

$$i(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{dq}{dt}$$

Perché "netta" e "con il suo segno". Si scompone $\Delta q = \Delta q^+ + \Delta q^-$ in ciascun verso:

$$\Delta q = \big(\Delta q^+ + \Delta q^-\big)_{\text{concordi a } \mathbf n} - \big(\Delta q^+ + \Delta q^-\big)_{\text{discordi da } \mathbf n}$$

Ne segue che un elettrone che attraversa $S$ contro $\mathbf n$ dà lo stesso contributo di una carica positiva uguale e opposta che la attraversa nel verso di $\mathbf n$: infatti $-(-e) = +e$. Per questo nei metalli, dove si muovono solo gli elettroni, la corrente ha verso opposto al moto degli elettroni.

Unità di misura: l'ampere (A). Dalla definizione $[\mathrm A] = [\mathrm C/\mathrm s]$: $1\ \mathrm A$ è $1$ coulomb netto al secondo.

Il verso di riferimento

Nei disegni, la corrente si indica con una freccia concorde a $\mathbf n$: è il verso di riferimento (o semplicemente riferimento) della corrente. Non è il verso "vero" in cui vanno le cariche: è una scelta, fatta prima di sapere il risultato.

• Se alla fine $i > 0$, la carica netta va davvero nel verso della freccia.
• Se $i < 0$, va nel verso opposto.
• Se si inverte la freccia (cioè l'orientazione di $S$) lasciando tutto il resto uguale, il valore della corrente cambia segno: $i \to -i$.

Esempio: in un filo passano $3$ coulomb netti al secondo da sinistra a destra. Con la freccia verso destra si scrive $i = 3\ \mathrm A$; con la freccia verso sinistra si scrive $i = -3\ \mathrm A$. Le due scritture descrivono la stessa situazione fisica.

Densità di corrente

La corrente dice quanta carica passa attraverso una superficie intera; la densità di corrente dice come la corrente è distribuita punto per punto. Se le cariche positive (densità $\rho_c^+$) hanno velocità $\mathbf v_{\rho^+}$ e quelle negative (densità $\rho_c^-$) hanno velocità $\mathbf v_{\rho^-}$:

$$\mathbf J(P,t) = \rho_c^+ \, \mathbf v_{\rho^+} + \rho_c^- \, \mathbf v_{\rho^-} \qquad [\mathrm{A/m^2}]$$

L'unità torna: $\mathrm{C/m^3} \cdot \mathrm{m/s} = \mathrm{C/(s \, m^2)} = \mathrm{A/m^2}$.

Corrente anche in un mezzo neutro. In un metallo $\rho_c^+ + \rho_c^- = 0$ (gli ioni positivi compensano gli elettroni), ma gli ioni sono fermi ($\mathbf v_{\rho^+} = 0$) e gli elettroni no: $\mathbf J = \rho_c^- \mathbf v_{\rho^-} \neq 0$. Quindi può esserci corrente anche dove la carica totale è nulla in ogni punto: è il caso normale nei conduttori.

Legame tra $\mathbf J$ e $i$

Per una superficie $S$ ferma rispetto all'osservatore:

$$i(t) = \int_S \mathbf J \cdot \mathbf n \, dS$$

cioè la corrente è il flusso di $\mathbf J$ attraverso $S$. Il prodotto scalare $\mathbf J \cdot \mathbf n$ prende solo la parte di $\mathbf J$ perpendicolare alla superficie (la parte "che la attraversa"), con segno $+$ se è concorde a $\mathbf n$.

$\mathbf J$ è una grandezza locale (dipende dal punto $P$), $i$ è una grandezza integrale (riguarda tutta la superficie).

Conduttore filiforme

Un conduttore filiforme ha sezione piccola rispetto alla lunghezza (un filo). Si prende come $S$ la sezione del filo, orientata con il versore $\mathbf t$ tangente all'asse. Essendo la sezione piccola, $\mathbf J \cdot \mathbf t$ si può considerare costante su di essa:

$$i = \int_S \mathbf J \cdot \mathbf t \, dS = (\mathbf J \cdot \mathbf t)\, S \qquad\Longrightarrow\qquad i = \pm J S$$

dove $J = |\mathbf J| \ge 0$ è il modulo; il segno è $+$ se $\mathbf J$ ha il verso di $\mathbf t$ (la freccia della corrente), $-$ altrimenti.

Esempio numerico. Un filo di rame con sezione $S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2} = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$ porta $i = 2\ \mathrm A$:

$$J = \frac{i}{S} = \frac{2}{1{,}5 \cdot 10^{-6}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{6}\ \mathrm{A/m^2} \;(= 1{,}33\ \mathrm{A/mm^2})$$

Nel rame ci sono circa $8{,}5 \cdot 10^{28}$ elettroni liberi al metro cubo, quindi $|\rho_c^-| = 8{,}5 \cdot 10^{28} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \approx 1{,}36 \cdot 10^{10}\ \mathrm{C/m^3}$ e la velocità media degli elettroni è

$$|\mathbf v_{\rho^-}| = \frac{J}{|\rho_c^-|} \approx \frac{1{,}33 \cdot 10^6}{1{,}36 \cdot 10^{10}} \approx 10^{-4}\ \mathrm{m/s}$$

cioè circa $0{,}1\ \mathrm{mm/s}$: gli elettroni si spostano lentissimi, ma sono tantissimi.

Legge di continuità

Si prende ora una superficie chiusa $S_c$ orientata verso l'esterno, che racchiude un volume con carica $q_{int}(t)$. La corrente totale uscente è

$$i_{usc}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q_{usc}}{\Delta t} = \frac{d q_{usc}}{dt}$$

La carica non si crea e non si distrugge: se una carica $\Delta q_{usc}$ esce, quella interna diminuisce della stessa quantità, $\Delta q_{int} = -\Delta q_{usc}$. Dividendo per $\Delta t$ e passando al limite si ottiene la legge di continuità:

$$\boxed{\,i_{usc}(t) = -\frac{d q_{int}(t)}{dt}\,}$$

La corrente totale uscente da una superficie chiusa è l'opposto della derivata della carica contenuta al suo interno.

Esempio (lezione 2). All'istante $t_1$ dentro $S_c$ ci sono $q_{int}(t_1) = 10\ \mathrm C$, all'istante $t_2$ ce ne sono $8\ \mathrm C$. Allora $\Delta q_{int} = 8 - 10 = -2\ \mathrm C$: nel frattempo $2\ \mathrm C$ sono usciti attraverso $S_c$. Se questo è avvenuto in $\Delta t = 4\ \mathrm s$ a ritmo costante, la corrente uscente è stata $i_{usc} = \frac{2}{4} = 0{,}5\ \mathrm A$, e infatti $-\frac{\Delta q_{int}}{\Delta t} = -\frac{-2}{4} = 0{,}5\ \mathrm A$.

Regime stazionario: campo di corrente solenoidale

In regime stazionario tutte le grandezze sono costanti nel tempo, quindi anche $q_{int}$ è costante e $\frac{dq_{int}}{dt} = 0$. La legge di continuità diventa

$$i_{usc} = \oint_{S_c} \mathbf J \cdot \mathbf n \, dS = 0$$

Lo stesso fatto si può dire in quattro modi equivalenti (le slide li elencano tutti, ed è la domanda 15 dell'autoverifica):

1. in regime stazionario è nulla la corrente totale uscente (o entrante) da qualunque superficie chiusa;
2. in nessun punto dello spazio c'è accumulo o prelievo di carica;
3. il campo $\mathbf J$ è solenoidale: $\nabla \cdot \mathbf J = 0$ (la divergenza misura quanto "esce" da un volumetto infinitesimo);
4. le linee di corrente (linee tangenti in ogni punto a $\mathbf J$) non hanno sorgenti né pozzi, quindi sono chiuse.

Conseguenza pratica: in un tratto di filo senza diramazioni, in regime stazionario, la corrente è la stessa in ogni sezione. Basta prendere come $S_c$ la superficie del pezzo di filo tra due sezioni $S_1$ e $S_2$: dalla superficie laterale non esce nulla, quindi quello che entra da $S_1$ esce da $S_2$. È la base della legge di Kirchhoff delle correntiIn ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa è zero.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) →.

Amperometro

La corrente in un conduttore filiforme si misura con l'amperometro, che si inserisce in serie: si "taglia" il filo e si fa passare la corrente dentro lo strumento. Lo strumento indica la corrente con riferimento dal morsetto $+$ al morsetto $-$ (entra dal $+$, esce dal $-$).

L'amperometro ideale:

• non ha errori di misura;
• non perturba il circuito: tra i suoi terminali la tensione è nulla (si comporta come un pezzo di filo, un cortocircuitoBipolo con tensione sempre nulla, qualunque sia la corrente che lo attraversa.Resistore e legge di Ohm →).

Errori comuni

• Confondere il verso di riferimento con il verso reale. La freccia si sceglie liberamente; il segno del risultato dice poi come vanno davvero le cose.
• Pensare che un corpo neutro non possa portare corrente. Conta il moto delle cariche, non la carica totale.
• Usare la legge "corrente uscente nulla" fuori dal regime stazionario senza giustificarlo: in generale vale $i_{usc} = -\frac{dq_{int}}{dt}$ (per esempio sulle armature di un condensatore la carica si accumula).