Tensione elettrica e potenziale

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Seconda parte della lezione 1, più l'approfondimento scritto a mano sulla tensione. Prima: Carica e corrente elettrica. Seguito: Componenti elettrici e modello a parametri concentrati. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 1 - domande e risposte.

Forza di Coulomb e campo coulombiano

Una carica $q$ ferma nel punto $Q$ esercita su una piccola carica di prova $\Delta q$ posta nel punto $P$ la forza

$\Delta \mathbf F_c(P) = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \, \frac{q \, \Delta q}{r_{QP}^2} \, \mathbf u_{QP}$

$r_{QP}$ è la distanza tra $Q$ e $P$ , $\mathbf u_{QP}$ il versore che va da $Q$ verso $P$ : se $q$ e $\Delta q$ hanno lo stesso segno la forza spinge $\Delta q$ lontano da $Q$ (repulsione), altrimenti verso $Q$ .
$\varepsilon$ è la permittività (o costante dielettrica) del mezzo, che si suppone uniforme: omogeneo (proprietà uguali in ogni punto), lineare (non dipendono dall'intensità del campo), isotropo (non dipendono dalla direzione). Nel vuoto $\varepsilon = \varepsilon_0 \approx 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$ , quindi $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ .

La forza dipende da $\Delta q$ ; per avere una grandezza che descriva solo l'effetto di $q$ si divide per la carica di prova:

$\mathbf E_c(P) = \lim_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta \mathbf F_c(P)}{\Delta q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon} \, \frac{q}{r_{QP}^2} \, \mathbf u_{QP}$

È il campo elettrostatico (o campo coulombiano): una forza per unità di carica. Il limite $\Delta q \to 0$ serve a far sì che la carica di prova non sposti le cariche che generano il campo.

Unità: $\mathrm{N/C} = \frac{\mathrm{N\,m}}{\mathrm{C\,m}} = \frac{\mathrm J}{\mathrm{C\,m}} = \mathrm{V/m}$ , dove il volt è $\mathrm V = \mathrm{J/C}$ (joule per coulomb).

Esempio. Una carica $q = 1\ \mathrm{nC} = 10^{-9}\ \mathrm C$ nel vuoto, a distanza $r = 10\ \mathrm{cm}$ : $E_c = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-9}}{0{,}1^2} \approx 900\ \mathrm{V/m}$ .

Il campo coulombiano è conservativo

La proprietà fondamentale di $\mathbf E_c$ è che è conservativo: la sua circuitazione lungo qualsiasi linea chiusa $\ell$ è nulla,

$\oint_\ell \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = 0$

( $\mathbf t$ è il versore tangente alla linea, nel verso di percorrenza). Vale qualunque sia la distribuzione delle cariche e qualunque sia il mezzo, anche non uniforme.

Formulazione equivalente: l'integrale di $\mathbf E_c$ lungo una linea aperta dipende solo dagli estremi, non dal percorso. Infatti, se due percorsi $\ell_1$ e $\ell_2$ vanno da $A$ a $B$ , percorrendo $\ell_1$ all'andata e $\ell_2$ al ritorno si ottiene una linea chiusa, su cui l'integrale è zero: quindi gli integrali su $\ell_1$ e su $\ell_2$ (da $A$ a $B$ ) sono uguali.

Potenziale elettrico

Poiché l'integrale non dipende dal percorso, si può definire una funzione scalare del punto, il potenziale elettrico $U$ , tale che

$\int_A^B \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = U(A) - U(B)$

$U$ si misura in volt.
È definito a meno di una costante: aggiungendo la stessa costante a $U$ in tutti i punti, le differenze non cambiano. Per questo nei circuiti si sceglie liberamente un punto a potenziale zero (la "massa" o nodo di riferimento).

Campo elettrico in generale

In generale la forza elettrica per unità di carica su una carica di prova è il campo elettrico

$\mathbf E(P,t) = \lim_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta \mathbf F_e(P,t)}{\Delta q}$

Cosa succede nei vari regimi:

Regime	Cariche	Campo elettrico
elettrostatico	ferme e costanti nel tempo ( $\rho_c$ costante, $\mathbf J = 0$ )	$\mathbf E = \mathbf E_c$
stazionario	in moto, ma con densità e velocità costanti ( $\rho_c$ costante, $\mathbf J \neq 0$ costante)	$\mathbf E = \mathbf E_c$
generico (variabile)	qualsiasi	$\mathbf E = \mathbf E_c + \mathbf E_i$

Il termine in più $\mathbf E_i$ è il campo elettrico indotto, che nasce quando il campo magnetico varia nel tempo ( $\nabla \times \mathbf E = -\partial \mathbf B / \partial t$ ): non è conservativo.

Tensione elettrica

La tensione elettrica è l'integrale del campo elettrico (quello totale, $\mathbf E$ , non solo $\mathbf E_c$ ) lungo una linea orientata $\ell$ , aperta o chiusa:

$v(t) = \int_\ell \mathbf E(P,t) \cdot \mathbf t \, d\ell \qquad [\mathrm V]$

Il verso di percorrenza della linea è il riferimento della tensione. È il parallelo esatto della corrente:

	Corrente	Tensione
si integra	$\mathbf J$	$\mathbf E$
su	una superficie orientata	una linea orientata
il riferimento è dato da	l'orientazione della superficie ( $\mathbf n$ )	il verso di percorrenza ( $\mathbf t$ )
unità	ampere	volt

Linea aperta: notazione

Per una linea aperta da $A$ (inizio) a $B$ (fine) si scrive

$v_{AB}(t) = \int_{A,\ell}^{B} \mathbf E(P,t) \cdot \mathbf t \, d\ell$

Nei disegni si usano tre notazioni equivalenti:

i pedici $v_{AB}$ : il primo è il punto di partenza;
i segni $+$ e $-$ : il $+$ sta sul punto di partenza $A$ , il $-$ su quello di arrivo $B$ ;
una freccia che punta verso il punto di partenza (cioè verso il $+$ ).

Invertendo la linea si inverte il segno: $v_{BA} = -v_{AB}$ (l'integrale percorso al contrario cambia segno perché $\mathbf t$ diventa $-\mathbf t$ ).

Attenzione: siccome in generale $\mathbf E$ non è conservativo, $v_{AB}$ dipende anche dal percorso tra $A$ e $B$ , non solo dagli estremi. Per questo, in generale, la tensione non è una differenza di potenziale.

Tensione come lavoro per unità di carica

Il campo elettrico è una forza per unità di carica ( $\mathbf E = d\mathbf F_e / dq$ ), quindi

$v = \int_\ell \frac{d\mathbf F_e}{dq} \cdot \mathbf t \, d\ell = \frac{d}{dq} \int_\ell \mathbf F_e \cdot \mathbf t \, d\ell = \frac{d\mathcal L_e}{dq}$

La tensione è il lavoro elettrico per unità di carica fatto dalle forze elettriche lungo la linea. Da qui $1\ \mathrm V = 1\ \mathrm{J/C}$ .

Esempio: tra due punti c'è una tensione di $12\ \mathrm V$ . Una carica di $2\ \mathrm C$ che va dal $+$ al $-$ riceve dalle forze elettriche un lavoro $\mathcal L_e = v \cdot q = 12 \cdot 2 = 24\ \mathrm J$ .

Quando la tensione è una differenza di potenziale

Se il campo indotto è nullo, $\mathbf E = \mathbf E_c$ (per esempio in regime stazionario), allora

$V_{AB} = \int_A^B \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = U(A) - U(B)$

e la tensione è una differenza di potenziale: dipende solo dagli estremi. In questo caso, se il percorso è chiuso ( $A = B$ ), la tensione è nulla.

Approfondimento: un percorso chiuso che tocca tre morsetti

(Dall'approfondimento scritto a mano del docente.) Si prende un componente con tre morsetti 1, 2, 3 (un tripolo) e una linea chiusa, esterna al componente, che parte da 1, tocca 2, poi 3 e torna a 1. La forma della linea non conta. Fuori dal componente, in condizioni stazionarie o quasi stazionarie, il campo è coulombiano, quindi la circuitazione è zero. Spezzando l'integrale nei tre tratti:

$0 = \oint \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = \int_1^2 \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell + \int_2^3 \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell + \int_3^1 \mathbf E_c \cdot \mathbf t \, d\ell = V_{12} + V_{23} + V_{31}$

e infatti, scrivendo ogni tensione come differenza di potenziale,

$V_{12} + V_{23} + V_{31} = \big[U(1) - U(2)\big] + \big[U(2) - U(3)\big] + \big[U(3) - U(1)\big] = 0$

perché ogni potenziale compare una volta con il $+$ e una volta con il $-$ . Questo è il germe della legge di Kirchhoff delle tensioni.

Voltmetro

La tensione si misura con il voltmetro. Ha due cordoni, che materializzano la linea $\ell$ su cui si calcola la tensione; le loro estremità si chiamano puntali. Si collega in parallelo: i puntali si appoggiano ai due punti tra cui si vuole la tensione, senza interrompere nulla.

Il voltmetro ideale:

non ha errori di misura;
non perturba il circuito: nei cordoni non passa corrente (si comporta come un circuito aperto).

Amperometro e voltmetro ideali sono "duali": il primo ha tensione nulla e si mette in serie, il secondo ha corrente nulla e si mette in parallelo.

Errori comuni

Mettere il $+$ dalla parte sbagliata. In $v_{AB}$ il $+$ va su $A$ , il punto di partenza dell'integrale. La freccia della tensione punta verso il $+$ .
Dire che la tensione è sempre una differenza di potenziale. Lo è solo se $\mathbf E_i = 0$ (o, nei circuiti, nell'approssimazione quasi stazionaria fuori dai componenti).
Confondere $\mathbf E$ con $\mathbf E_c$ nella definizione di tensione. La tensione si definisce con il campo totale $\mathbf E$ .