Esercizio 1.7 - legge di Kirchhoff delle correnti

Testo (Eserciziario, es. 1.7). In figura è rappresentata una rete in regime stazionario costituita da otto bipoli, con $I_1 = 2\ \mathrm A$, $I_2 = 4\ \mathrm A$, $I_3 = 6\ \mathrm A$, $I_4 = 8\ \mathrm A$. Applicando la LKC ai nodi, calcolare le correnti $I_5$, $I_6$, $I_7$, $I_8$.

Figura (descritta). Stessa forma dell'Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni: nodo 2 al centro, 1 a sinistra, 3 a destra, 4 in alto, 5 in basso. Ogni freccia indica il verso di riferimento della corrente nel bipolo.

Risultati: $I_5 = -10\ \mathrm A$, $I_6 = 10\ \mathrm A$, $I_7 = 2\ \mathrm A$, $I_8 = -2\ \mathrm A$.

1. Quante equazioni

Con $n = 5$ nodi le LKC indipendentiCon n nodi, le LKC scritte su n − 1 nodi qualsiasi sono indipendenti; quella sull'ultimo nodo è la somma delle altre cambiata di segno.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) → sono $n - 1 = 4$, e le incognite sono $4$. Si scelgono i nodi 1, 3, 4 (che hanno una sola incognita ciascuno) e poi il nodo 2.

Perché quest'ordine. Il nodo 2 tocca tutte e quattro le incognite: conviene lasciarlo per ultimo, quando tre sono già note. I nodi 1, 3, 4 invece si risolvono subito uno per uno.

Regola dei segni (superficie attorno al nodo, orientata verso l'esterno): corrente uscente dal nodo con il $+$, entrante con il $-$.

2. Nodo 1

Correnti che toccano il nodo 1: $I_2$ (da 1 a 5: esce), $I_3$ (da 1 a 4: esce), $I_6$ (da 2 a 1: entra).

$$I_2 + I_3 - I_6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad I_6 = I_2 + I_3 = 4 + 6 = 10\ \mathrm A$$

3. Nodo 3

Correnti: $I_1$ (da 5 a 3: entra), $I_4$ (da 4 a 3: entra), $I_5$ (da 2 a 3: entra). Tutte entranti:

$$-I_1 - I_4 - I_5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad I_5 = -I_1 - I_4 = -2 - 8 = -10\ \mathrm A$$

Il segno meno ha senso: tre correnti con la freccia "verso il nodo 3" non possono essere tutte positive, altrimenti la carica si accumulerebbe nel nodo. Due sono positive, quindi la terza deve essere negativa: in realtà $10\ \mathrm A$ vanno da 3 a 2.

4. Nodo 4

Correnti: $I_3$ (da 1 a 4: entra), $I_7$ (da 2 a 4: entra), $I_4$ (da 4 a 3: esce).

$$-I_3 + I_4 - I_7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad I_7 = I_4 - I_3 = 8 - 6 = 2\ \mathrm A$$

5. Nodo 2

Tutte e quattro le correnti hanno la freccia che esce da 2 ($I_5$ verso 3, $I_6$ verso 1, $I_7$ verso 4, $I_8$ verso 5):

$$I_5 + I_6 + I_7 + I_8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad I_8 = -I_5 - I_6 - I_7 = -(-10) - 10 - 2 = -2\ \mathrm A$$

6. Verifica sul nodo 5

La LKC sul quinto nodo non è indipendente, quindi deve essere automaticamente soddisfatta: è un buon controllo. Nodo 5: $I_1$ esce (va da 5 a 3), $I_2$ entra (da 1), $I_8$ entra (da 2).

$$I_1 - I_2 - I_8 = 2 - 4 - (-2) = 0 \ ✓$$

Errori comuni

• Sbagliare il segno di una corrente perché la freccia è disegnata lontano dal nodo: conta solo se la freccia punta verso il nodo o si allontana.
• Correggere il segno di $I_5$ "a mano" perché negativo: il risultato è $I_5 = -10\ \mathrm A$ con il riferimento dato; cambiarlo richiederebbe di cambiare anche la freccia.