Esercizio 3.29 - Thévenin e amperometro su un condensatore

Testo (Eserciziario, es. 3.29). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$, $L = 40\ \mathrm{mH}$, $C_1 = C_2 = 100\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 100\sqrt2\cos\left(1000t - \frac{\pi}{2}\right)$, $j(t) = 5\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Della rete a destra della porta AB determinare $\dot Z_{ABeq}$ e $\bar V_{AB0}$ ($+$ in A).
2. Nella rete completa determinare il valore $I_A$ letto dall'amperometro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $C_1$ tra il filo in alto e B; l'amperometro è sul filo in alto, tra $C_1$ e A. Nel riquadro: da A scende il ramo $C_2$ in serie a $R_1$ fino a B; da A, sul filo in alto, il GIT $e$ ($+$ verso A) fino al nodo N; da N scendono $R_2$ e, più a destra, il ramo $L$ in serie al GIC $j$ (freccia in giù).

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 6 - j2\ \Omega$, $\bar V_{AB0} = -30 - j90\ \mathrm V$, $I_A = 5\sqrt2\ \mathrm A$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 100\, e^{-j\pi/2} = -j100$, $\bar J = 5\, e^{j\pi/2} = j5$; $\dot Z_L = j40$, $\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -j10$.

Il ramo $L$–GIC: l'induttore è in serie a un generatore di corrente, quindi non conta per nulla di ciò che si vede dalla porta (porta sempre $\bar J$).

2. Impedenza equivalente

GIC aperto (il ramo $L$–GIC sparisce), GIT in corto (N coincide con A). Da A si vedono in parallelo il ramo $C_2$–$R_1$ ($10 - j10$) e $R_2$ ($10$):

$$\dot Z_{ABeq} = \frac{10(10 - j10)}{20 - j10} = \frac{100 - j100}{20 - j10} = \frac{(100 - j100)(20 + j10)}{500} = \frac{3000 - j1000}{500} = 6 - j2\ \Omega$$

3. Tensione a vuoto

Incognita $\bar U_A$ (B riferimento); il GIT dà $\bar U_N = \bar U_A - \bar E$. LKC sul supernodo {A, N}: escono la corrente nel ramo $C_2$–$R_1$, quella in $R_2$ e $\bar J$ (il GIC la preleva da N verso il basso):

$$\frac{\bar U_A}{10 - j10} + \frac{\bar U_A - \bar E}{10} + \bar J = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_A\left(\frac{1 + j}{20} + \frac{1}{10}\right) = \frac{\bar E}{10} - \bar J$$

$$\bar U_A\,(0{,}15 + j0{,}05) = -j10 - j5 = -j15 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_A = \frac{-j15\,(0{,}15 - j0{,}05)}{0{,}025} = \frac{-0{,}75 - j2{,}25}{0{,}025}$$

$$\boxed{\bar V_{AB0} = -30 - j90\ \mathrm V}$$

4. Lettura dell'amperometro

L'amperometro è un cortocircuito in serie a $C_1$: la corrente che misura è quella della maglia equivalente $\bar V_{AB0}$ – $\dot Z_{ABeq}$ – $C_1$:

$$\bar I = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq} + \dot Z_{C1}} = \frac{-30 - j90}{6 - j12}$$

$$\boxed{I_A = \frac{|-30 - j90|}{|6 - j12|} = \frac{30\sqrt{10}}{6\sqrt5} = 5\sqrt2 \approx 7{,}07\ \mathrm A}$$

(Il fasore completo è $\bar I = \frac{(-30 - j90)(6 + j12)}{180} = \frac{900 - j900}{180} = 5 - j5$.)