Esercizio 2.8 - resistenza interna con un GTPC

Testo (Eserciziario, es. 2.8). Rete in regime stazionario con $R_1 = 90\ \Omega$, $R_2 = 100\ \Omega$, un GIC $J = 60\ \mathrm{mA}$ e un GTPC con $r = 10\ \Omega$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = B, più un nodo N in alto a destra.

Risultato: $R_i = 45\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

$J$ spento: circuito aperto, sparisce. GIT di prova $V^*$ tra A e B ($+$ su A), $V_B = 0$.

1. Controllo: $I_{R1} = V^* / R_1$ (scende in $R_1$, da A a B).
2. Nodo N: $V_N = V_A + r I_{R1} = V^* + \frac{r}{R_1} V^* = V^* \left(1 + \frac{10}{90}\right) = \frac{10}{9} V^*$.
3. Corrente in $R_2$: $V_N / R_2 = \frac{10}{9} \cdot \frac{V^*}{100} = \frac{V^*}{90}$. Questa corrente arriva da A attraverso il GTPC.
4. LKC in A:

$$I^* = I_{R1} + \frac{V_N}{R_2} = \frac{V^*}{90} + \frac{V^*}{90} = \frac{V^*}{45} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{R_i = 45\ \Omega}$$

Interpretazione. Senza pilotato sarebbe $R_1 \parallel R_2 = 47{,}4\ \Omega$. Il GTPC alza il potenziale di N sopra quello di A, quindi $R_2$ porta un po' più corrente e la resistenza vista scende a $45\ \Omega$. Per coincidenza numerica, $R_2$ "pesa" esattamente come $R_1$: ciascuno porta $V^*/90$.