Esercizio 2.4 - matrice T di una rete a L

Testo (Eserciziario, es. 2.4). Doppio bipolo con $R_a = 20\ \Omega$, $R_c = 10\ \Omega$ (la stessa rete a L dell'Esercizio 2.1 - matrici R e G di una rete a L), convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte. Calcolare la matrice $[T]$.

Figura (descritta). $R_a$ sul filo superiore tra 1 e 2; $R_c$ verticale tra 2 e 2'.

Risultato: $[T] = \begin{bmatrix} 3 & 20\ \Omega \\ \frac{1}{10}\ \mathrm S & 1 \end{bmatrix}$.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →.

1. Calcolo diretto

Porta 2 aperta ($i_2 = 0$): $R_a$ e $R_c$ in serie, percorsi da $i_1$. La tensione $v_2$ è quella su $R_c$, e $v_1$ è la somma.

$$A = \left.\frac{v_1}{v_2}\right|_{i_2=0} = \frac{(R_a + R_c)\, i_1}{R_c\, i_1} = \frac{30}{10} = 3, \qquad C = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{i_2=0} = \frac{i_1}{R_c\, i_1} = \frac{1}{10}\ \mathrm S$$

$A$ è l'inverso del partitore di tensioneIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →: $v_2 = v_1 \frac{R_c}{R_a + R_c}$, quindi $v_1/v_2 = 3$.

Porta 2 in cortocircuito ($v_2 = 0$): $R_c$ è cortocircuitato, la corrente passa da $R_a$ ed esce da 2: $v_1 = R_a i_1$, $i_1 = -i_2$.

$$B = \left.\frac{v_1}{-i_2}\right|_{v_2=0} = R_a = 20\ \Omega, \qquad D = \left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{v_2=0} = 1$$

2. Stesso risultato con la cascata

La rete è un resistore in serie $R_a$ (Esercizio 2.3 - matrici G e T di un resistore in serie) seguito da un resistore in parallelo $R_c$ (Esercizio 2.2 - matrici R e T di un resistore in parallelo). Per la cascata si moltiplicano le matrici di trasmissione, nell'ordine (prima quella a monte):

$$[T] = [T_a][T_c] = \begin{bmatrix} 1 & 20 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0{,}1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 + 20 \cdot 0{,}1 & 1 \cdot 0 + 20 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0{,}1 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 20 \\ 0{,}1 & 1 \end{bmatrix} \quad ✓$$

L'ordine conta. Nell'ordine opposto, $[T_c][T_a] = \begin{bmatrix} 1 & 20 \\ 0{,}1 & 3 \end{bmatrix}$: è la rete a L "girata", con $R_c$ dalla parte della porta 1.

3. Reciprocità

$$AD - BC = 3 \cdot 1 - 20 \cdot 0{,}1 = 3 - 2 = 1$$

Il doppio bipolo è reciproco (come deve essere ogni rete di resistori, e in accordo con $R_{12} = R_{21} = 10\ \Omega$ trovato nell'esercizio 2.1). Non è simmetrico, perché $A = 3 \ne D = 1$.

Nota sull'EserciziarioLa soluzione dell'Eserciziario afferma che il doppio bipolo non è reciproco perché AD - BC sarebbe diverso da 1: è una svista, il determinante vale esattamente 1..