Esercizio 2.1 - matrici R e G di una rete a L

Testo (Eserciziario, es. 2.1). Doppio bipolo con $R_a = 20\ \Omega$, $R_c = 10\ \Omega$, convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte.

1. Calcolare la matrice $[R]$ (rappresentazione controllata in corrente).
2. Calcolare la matrice $[G]$ (rappresentazione controllata in tensione).

Figura (descritta). Morsetti 1 e 1' a sinistra, 2 e 2' a destra. $R_a$ sul filo superiore tra 1 e 2; $R_c$ verticale tra 2 e 2' (in parallelo alla porta 2). Il filo inferiore collega direttamente 1' e 2'. $i_1$ entra in 1, $i_2$ entra in 2.

Risultati: $[R] = \begin{bmatrix} 30 & 10 \\ 10 & 10 \end{bmatrix} \Omega$, $\quad [G] = \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & -\frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{3}{20} \end{bmatrix} \mathrm S$.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →.

1. Matrice $[R]$: una porta a vuoto alla volta

I parametri di $[R]$ sono rapporti tensione/corrente con l'altra corrente nulla, cioè con l'altra porta aperta.

Porta 2 aperta ($i_2 = 0$). La corrente $i_1$ entra in 1, attraversa $R_a$, arriva in 2 e, non potendo uscire dal morsetto 2 (aperto), scende tutta in $R_c$. I due resistori sono in serie:

$$v_1 = (R_a + R_c)\, i_1, \qquad v_2 = R_c\, i_1$$

$$R_{11} = \left.\frac{v_1}{i_1}\right|_{i_2=0} = R_a + R_c = 30\ \Omega, \qquad R_{21} = \left.\frac{v_2}{i_1}\right|_{i_2=0} = R_c = 10\ \Omega$$

Porta 1 aperta ($i_1 = 0$). Ora $i_2$ entra in 2 e scende in $R_c$. In $R_a$ non passa corrente, quindi su $R_a$ la tensione è zero e $v_1 = v_2$:

$$v_1 = v_2 = R_c\, i_2 \quad\Longrightarrow\quad R_{12} = R_{22} = R_c = 10\ \Omega$$

Perché v1 = v2 quiIl morsetto 1 è collegato al morsetto 2 attraverso R_a, che non porta corrente: i due morsetti sono allo stesso potenziale. I morsetti 1' e 2' sono lo stesso filo. Quindi le due tensioni di porta coincidono..

2. Matrice $[G]$: una porta in cortocircuito alla volta

Ora i parametri sono rapporti corrente/tensione con l'altra tensione nulla, cioè con l'altra porta in cortocircuito. Conduttanze: $G_a = 1/20\ \mathrm S$, $G_c = 1/10\ \mathrm S$.

Porta 2 in cortocircuito ($v_2 = 0$). $R_c$ è cortocircuitato (ha tensione $v_2 = 0$, quindi corrente nulla). Tutta la $v_1$ cade su $R_a$: $i_1 = G_a v_1$. La corrente arriva in 2 ed esce dal cortocircuito, cioè esce dal morsetto 2: $i_2 = -i_1$.

$$G_{11} = \left.\frac{i_1}{v_1}\right|_{v_2=0} = G_a = \frac{1}{20}\ \mathrm S, \qquad G_{21} = \left.\frac{i_2}{v_1}\right|_{v_2=0} = -G_a = -\frac{1}{20}\ \mathrm S$$

Porta 1 in cortocircuito ($v_1 = 0$). Il morsetto 1 è collegato a 1'. Dalla porta 2 si vedono $R_c$ e, in parallelo, $R_a$ (che va da 2 a 1, cioè a 1' attraverso il cortocircuito). La tensione su $R_a$ (da 1 verso 2) è $v_1 - v_2 = -v_2$, quindi $i_1 = G_a(v_1 - v_2) = -G_a v_2$. La corrente $i_2$ alimenta i due resistori in parallelo:

$$G_{12} = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{v_1=0} = -G_a = -\frac{1}{20}\ \mathrm S, \qquad G_{22} = \left.\frac{i_2}{v_2}\right|_{v_1=0} = G_a + G_c = \frac{3}{20}\ \mathrm S$$

3. Verifica: $[G] = [R]^{-1}$

Per una matrice $2 \times 2$: $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$. Con $\det[R] = 30 \cdot 10 - 10 \cdot 10 = 200$:

$$[R]^{-1} = \frac{1}{200} \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & -\frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{3}{20} \end{bmatrix} \mathrm S \quad ✓$$

4. Osservazioni

• $R_{12} = R_{21}$ e $G_{12} = G_{21}$: il doppio bipolo è reciproco, come ogni rete di resistori.
• $R_{11} \ne R_{22}$: non è simmetrico (scambiando le porte cambia: da 1 si vede $R_a$ in serie a $R_c$, da 2 solo $R_c$).
• $R_{11} = 30\ \Omega$ ma $1/G_{11} = 20\ \Omega$: sono le resistenze viste dalla porta 1 con la porta 2 aperta e in cortocircuito.