Esercizio 2.9 - resistenza interna con un GTPC e tre resistori

Testo (Eserciziario, es. 2.9). Rete in regime stazionario con $R_1 = 180\ \Omega$, $R_2 = 100\ \Omega$, $R_3 = 180\ \Omega$, un GIT $E = 15\ \mathrm V$ e un GTPC con $r = 20\ \Omega$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in alto a destra = A, filo in basso a destra = B. A sinistra due nodi: P (in alto) e Q (in basso).

Risultato: $R_i = 45\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

$E$ spento (cortocircuito): Q coincide con B. GIT di prova $V^*$ su AB, $V_B = 0$, $V_A = V^*$.

1. Controllo: $I_{R2} = V^* / R_2 = V^*/100$.
2. Nodo P: $V_P = V_A + r I_{R2} = V^* + \frac{20}{100} V^* = 1{,}2\, V^*$.
3. Ramo GTPC–$R_1$: la corrente va da A a P attraverso il GTPC, poi scende in $R_1$ fino a Q (= B): vale $V_P / R_1 = 1{,}2 V^* / 180$.
4. LKC in A: dalla prova entra $I^*$, escono le correnti in $R_2$, $R_3$ e nel ramo del GTPC:

$$I^* = \frac{V^*}{100} + \frac{V^*}{180} + \frac{1{,}2\, V^*}{180} = V^* \left( 0{,}01 + \frac{2{,}2}{180} \right) = V^* \cdot \frac{1{,}8 + 2{,}2}{180} = \frac{V^*}{45}$$

$$\boxed{R_i = 45\ \Omega}$$

Confronto. Senza il pilotato ($r = 0$) si avrebbe $R_1 \parallel R_2 \parallel R_3 = 180 \parallel 180 \parallel 100 = 90 \parallel 100 = 47{,}4\ \Omega$. Il GTPC fa sembrare $R_1$ un resistore da $180/1{,}2 = 150\ \Omega$, e $150 \parallel 180 \parallel 100 = 45\ \Omega$.