Esercizio 2.16 - sintesi a stella e Thévenin di un doppio bipolo

Testo (Eserciziario, es. 2.16). Rete in regime stazionario. Il doppio bipolo (convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte) ha rappresentazione controllata in corrente con $R_{11} = 40\ \Omega$, $R_{22} = 20\ \Omega$, $R_{12} = R_{21} = 10\ \Omega$. Alla porta 1 (morsetti A, B) è collegato un GIT $E = 1000\ \mathrm V$ in serie a un resistore $R_i = 10\ \Omega$; alla porta 2 (morsetti C, D) un resistore $R_u = 82\ \Omega$.

1. Effettuare la sintesi del doppio bipolo con tre resistori a stella.
2. Calcolare $E_{eq}$ ed $R_{eq}$ dell'equivalente di Thévenin della rete a sinistra di CD.
3. Calcolare la potenza assorbita dal carico $R_u$.

Risultati: $R_a = 30\ \Omega$, $R_b = 10\ \Omega$, $R_c = 10\ \Omega$; $E_{eq} = 200\ \mathrm V$, $R_{eq} = 18\ \Omega$; $P_{Ru} = 328\ \mathrm W$.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →, Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

1. Sintesi a stella

Il doppio bipolo è reciproco ($R_{12} = R_{21}$) con $R_{12} \ge 0$, quindi si realizza con una T di resistori passivi: $R_a$ sul ramo della porta 1, $R_b$ sul ramo della porta 2, $R_c$ sul ramo comune. Dalle formule di sintesi:

$$R_a = R_{11} - R_{12} = 40 - 10 = 30\ \Omega, \qquad R_b = R_{22} - R_{21} = 20 - 10 = 10\ \Omega, \qquad R_c = R_{12} = 10\ \Omega$$

Perché funzionano. Nella T, $R_c$ è attraversato da $i_1 + i_2$, quindi $v_1 = R_a i_1 + R_c(i_1 + i_2)$: il coefficiente di $i_1$ è $R_a + R_c = R_{11}$, quello di $i_2$ è $R_c = R_{12}$. Si inverte il sistema.

Controllo. Porta 2 aperta: dalla porta 1 si vede $R_a + R_c = 40\ \Omega = R_{11}$ ✓. Porta 1 aperta: dalla porta 2 si vede $R_b + R_c = 20\ \Omega = R_{22}$ ✓.

2. Equivalente di Thévenin a sinistra di CD

La rete a sinistra di CD è: GIT $E$, $R_i$, e il doppio bipolo (ora sostituito dalla T).

Tensione a vuoto ($i_2 = 0$, carico staccato). Con la T: $E$ alimenta la serie $R_i + R_a + R_c = 50\ \Omega$ (in $R_b$ non passa corrente):

$$i_1 = \frac{E}{R_i + R_a + R_c} = \frac{1000}{50} = 20\ \mathrm A, \qquad E_{eq} = V_{CD0} = R_c\, i_1 = 10 \cdot 20 = 200\ \mathrm V$$

(Lo stesso dalle equazioni del doppio bipolo: con $i_2 = 0$, $v_1 = R_{11} i_1$ e $v_1 = E - R_i i_1$ danno $i_1 = E/(R_i + R_{11}) = 20\ \mathrm A$, poi $v_2 = R_{21} i_1 = 200\ \mathrm V$.)

Resistenza equivalente ($E$ spento). Dai morsetti CD si vede $R_b$ in serie al parallelo tra $R_c$ e il ramo $R_a + R_i$:

$$R_{eq} = R_b + R_c \parallel (R_a + R_i) = 10 + \frac{10 \cdot 40}{10 + 40} = 10 + 8 = 18\ \Omega$$

(Con le equazioni: $E$ spento vuol dire $v_1 = -R_i i_1$; da $-10\, i_1 = 40\, i_1 + 10\, i_2$ si ha $i_1 = -i_2/5$, e $v_2 = 10\, i_1 + 20\, i_2 = -2\, i_2 + 20\, i_2 = 18\, i_2$.)

3. Potenza sul carico

$$I_u = \frac{E_{eq}}{R_{eq} + R_u} = \frac{200}{18 + 82} = 2\ \mathrm A, \qquad \boxed{P_{Ru} = R_u I_u^2 = 82 \cdot 4 = 328\ \mathrm W}$$

Osservazione. Il carico non è adattato: con $R_u = R_{eq} = 18\ \Omega$ si avrebbe la potenza massimaUna rete con equivalente di Thévenin (e_eq, R_i) cede a un carico resistivo R_u la potenza P = R_u e_eq² / (R_i + R_u)². Al variare di R_u questa potenza è massima per R_u = R_i (carico adattato) e vale P_max = e_eq² / (4 R_i). In quella condizione il rendimento è solo del 50%.Teorema del massimo trasferimento di potenza → $E_{eq}^2/(4 R_{eq}) = 40000/72 \approx 556\ \mathrm W$.