Esercizio 3.25 - Thévenin e Norton con un GIT e un GIC

Testo (Eserciziario, es. 3.25). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 3\ \Omega$, $R_3 = 2\ \Omega$, $L_1 = 15\ \mathrm{mH}$, $C_1 = 100\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 160\cos\left(1000t - \frac{\pi}{4}\right)$, $j(t) = 4\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$. Della rete a sinistra della porta AB determinare $\dot Z_{ABeq}$, $\bar V_{AB0}$ ($+$ in A) e $\bar I_{cc}$ (uscente da A).

Figura (descritta). Nodi T (in alto) e D (in basso), tra i quali ci sono, in parallelo, il GIC $j$ (freccia in su, verso T) e $R_1$. Da T, sul filo in alto: $R_2$ e $L_1$ fino al morsetto A. Da D, sul filo in basso: $R_3$, $C_1$ e il GIT $e$ ($+$ verso $C_1$, $-$ verso B) fino al morsetto B.

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 15 + j5\ \Omega$, $\bar V_{AB0} = 80 - j40\ \mathrm V$, $\bar I_{cc} = 4 - j4\ \mathrm A$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

• $\bar E$: ampiezza $160$, valore efficace $80\sqrt2$: $\ \bar E = 80\sqrt2\, e^{-j\pi/4} = 80 - j80$.
• $\bar J = 4\, e^{j\pi/2} = j4$.
• $\dot Z_{L1} = j15$, $\ \dot Z_{C1} = -\frac{j}{1000 \cdot 10^{-4}} = -j10$.

2. Impedenza equivalente

GIC aperto, GIT in corto. Da A a B c'è un'unica maglia in serie: $L_1$, $R_2$, $R_1$ (il GIC aperto non offre un percorso alternativo), $R_3$, $C_1$:

$$\boxed{\dot Z_{ABeq} = j15 + 3 + 10 + 2 - j10 = 15 + j5\ \Omega}$$

3. Tensione a vuoto

A vuoto il percorso in serie A – $L_1$ – $R_2$ – T e D – $R_3$ – $C_1$ – GIT – B non porta corrente. Quindi:

• tutta la corrente del GIC passa in $R_1$, da T verso D: $\bar U_T - \bar U_D = R_1 \bar J = 10 \cdot j4 = j40$;
• su $L_1$, $R_2$, $R_3$, $C_1$ la tensione è nulla: $\bar U_A = \bar U_T$, e $\bar U_D$ è uguale al potenziale del $+$ del GIT, cioè $\bar U_B + \bar E$.

$$\bar V_{AB0} = \bar U_A - \bar U_B = (\bar U_T - \bar U_D) + (\bar U_D - \bar U_B) = j40 + 80 - j80$$

$$\boxed{\bar V_{AB0} = 80 - j40\ \mathrm V}$$

4. Corrente di cortocircuito

$$\bar I_{cc} = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq}} = \frac{80 - j40}{15 + j5} = \frac{(80 - j40)(15 - j5)}{250} = \frac{1200 - j400 - j600 - 200}{250} = \frac{1000 - j1000}{250} = 4 - j4\ \mathrm A$$

Verifica diretta (sovrapposizione in cortocircuito). Con A–B in corto la rete è una maglia con il GIC in parallelo a $R_1$. Il GIC con $R_1$ equivale a un GIT $R_1 \bar J = j40$ ($+$ verso T) in serie a $R_1$: nella maglia agiscono $j40$ ed $\bar E$, concordi nel far uscire corrente da A, e l'impedenza totale è $15 + j5$. Quindi $\bar I_{cc} = \frac{j40 + 80 - j80}{15 + j5}$, lo stesso numero ✓.