Esercizio 3.27 - risonanza parallelo e wattmetro

Testo (Eserciziario, es. 3.27). Rete a regime sinusoidale con $R = 5\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C_1 = C_2 = 100\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 20\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$, $j(t) = 4\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$. Determinare il valore $P_W$ letto dal wattmetro e la potenza reattiva $Q_{C2}$ entrante in $C_2$.

Figura (descritta). Come nell'Esercizio 3.26 - risonanza serie e wattmetro, ma a destra del GIT, tra il nodo N e il riferimento, ci sono in parallelo $L$, $C_2$ e il GIC $j$ (freccia in su).

Risultati: $P_W = 64\ \mathrm W$, $Q_{C2} = -8\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Risonanza serie e paralleloIn un RLC serie l'impedenza Ż = R + j(ωL - 1/ωC) ha modulo minimo, pari a R, alla pulsazione di risonanza ω0 = 1/√(LC), dove le reattanze di L e C si annullano: la serie LC equivale a un cortocircuito e su L e C compaiono tensioni Q volte quella applicata (Q = ω0 L / R). Nel parallelo RLC l'ammettenza è minima (G) a ω0: il parallelo LC equivale a un circuito aperto e le correnti in L e C sono Q volte quella totale (Q = ω0 R C). Usati come filtri passa banda: banda B = ω2 - ω1 = ω0 / Q.Risonanza serie e parallelo →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 20\, e^{j\pi/4} = 10\sqrt2(1 + j)$, $\ \bar J = 4\, e^{j\pi/4} = 2\sqrt2(1 + j)$; $\dot Z_{C1} = \dot Z_{C2} = -j10$, $\dot Z_L = j10$, $R = 5$.

2. La risonanza parallelo

$\dot Y_L + \dot Y_{C2} = \frac{1}{j10} + \frac{1}{-j10} = -j0{,}1 + j0{,}1 = 0$: il parallelo $L \parallel C_2$ è in risonanza e si comporta come un circuito aperto. Nel nodo N quindi il GIC non può scaricare la sua corrente su $L$ e $C_2$ (nel loro insieme): tutta $\bar J$ prosegue attraverso il GIT e il wattmetro verso la parte sinistra.

$$\bar I_W = \bar J = 2\sqrt2(1 + j)$$

3. Tensione del wattmetro

La parte sinistra $R \parallel C_1$ ha $\dot Z_1 = 2(2 - j)$ (come nell'esercizio 3.26):

$$\bar V_W = \dot Z_1\, \bar I_W = 2(2 - j) \cdot 2\sqrt2(1 + j) = 4\sqrt2(2 + 2j - j + 1) = 4\sqrt2(3 + j)$$

4. Lettura del wattmetro

$$\dot S_W = \bar V_W\, \bar I_W^* = 4\sqrt2(3 + j) \cdot 2\sqrt2(1 - j) = 16(3 - 3j + j + 1) = 16(4 - 2j) = 64 - j32$$

$$\boxed{P_W = 64\ \mathrm W}$$

Controllo: in $R$: la tensione è $\bar V_W$, $\ \frac{V_W^2}{R} = \frac{32 \cdot 10}{5} = 64\ \mathrm W$ ✓.

5. Potenza reattiva di $C_2$

La tensione di $C_2$ è quella del nodo N. Il GIT ha il $+$ verso Q (lato wattmetro): $\bar U_Q - \bar U_N = \bar E$, quindi

$$\bar V_{C2} = \bar U_N = \bar V_W - \bar E = 4\sqrt2(3 + j) - 10\sqrt2(1 + j) = \sqrt2(2 - 6j) = 2\sqrt2(1 - 3j)$$

$$V_{C2}^2 = 8 \cdot 10 = 80\ \mathrm{V^2}, \qquad \boxed{Q_{C2} = \frac{V_{C2}^2}{X_{C2}} = \frac{80}{-10} = -8\ \mathrm{VAR}}$$

(formula $Q = -B\, V^2$ con $B_{C2} = 0{,}1$, oppure $Q = V^2/X$ per un bipolo puramente reattivo).

Osservazione. $Q_L = +8\ \mathrm{VAR}$: anche qui le reattive si compensano. Nel parallelo in risonanza circola tra $L$ e $C_2$ una corrente $\frac{V_{C2}}{10} = 0{,}89\ \mathrm A$ che non esce dal parallelo.