Esercizio - flash fotografico, carica e scarica di un condensatore

Testo (applicazione della dispensa, paragrafo 15.5). Modello semplificato del flash di una macchina fotografica. Un deviatore S collega il condensatore $C$:

• in posizione 1 al circuito di carica, rappresentato con un equivalente di Thévenin $E_{th} = 330\ \mathrm V$, $R_{th} = 1\ \mathrm{k\Omega}$;
• in posizione 2 alla lampada allo xenon, rappresentata con un resistore $R_{xe} = 2\ \Omega$.

$C = 330\ \mu\mathrm F$. Il condensatore si carica fino a $V_{max} = 320\ \mathrm V$ e si scarica fino a $V_{min} = 100\ \mathrm V$ (sotto questo valore l'energia non basta più ad accendere la lampada).

Calcolare: le costanti di tempo, il tempo di ricarica $\Delta t_c$, il tempo di scarica $\Delta t_s$, l'energia ceduta alla lampada a ogni lampo e la potenza media su un ciclo.

Risultati: $T_c = 330\ \mathrm{ms}$, $T_s = 660\ \mu\mathrm s$, $\Delta t_c \approx 1{,}03\ \mathrm s$, $\Delta t_s \approx 0{,}77\ \mathrm{ms}$, $\Delta W \approx 15{,}2\ \mathrm J$, $P \approx 15\ \mathrm W$.

Teoria: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →, CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore →.

1. Costanti di tempo

Ciascuna posizione del deviatore dà un circuito RC con una sola resistenza:

$$T_c = R_{th}\, C = 1000 \cdot 330 \cdot 10^{-6} = 0{,}33\ \mathrm s, \qquad T_s = R_{xe}\, C = 2 \cdot 330 \cdot 10^{-6} = 660\ \mu\mathrm s$$

La scarica è 500 volte più veloce della carica: è proprio ciò che serve a un flash (energia accumulata lentamente, rilasciata in un lampo).

2. Ricarica (S in posizione 1)

Si fa ripartire il tempo quando S passa in 1, con il condensatore a $V_{min}$. Per la continuità $v_C(0^+) = V_{min}$; il valore finale (regime stazionario con S in 1) è $E_{th}$. Dalla formula generale $x(t) = x_\infty + [x(0) - x_\infty]\, e^{-t/T}$:

$$v_C(t) = E_{th} + (V_{min} - E_{th})\, e^{-t/T_c}$$

(equivalente a $V_{min}\, e^{-t/T_c} + E_{th}(1 - e^{-t/T_c})$: evoluzione libera più risposta forzata).

Perché non si carica fino a $E_{th}$. Servirebbero $4$–$5\, T_c$, cioè quasi $2\ \mathrm s$; ci si ferma a $V_{max} = 320\ \mathrm V$. Il tempo si trova imponendo $v_C(\Delta t_c) = V_{max}$ e prendendo il logaritmo:

$$e^{-\Delta t_c / T_c} = \frac{E_{th} - V_{max}}{E_{th} - V_{min}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta t_c = T_c \ln \frac{E_{th} - V_{min}}{E_{th} - V_{max}} = 0{,}33 \ln \frac{230}{10} = 0{,}33 \cdot 3{,}135 \approx 1{,}03\ \mathrm s$$

3. Scarica (S in posizione 2)

Si riparte da $t = 0$ con $v_C(0^+) = V_{max}$; senza generatori il valore finale è zero:

$$v_C(t) = V_{max}\, e^{-t/T_s}$$

Imponendo $v_C(\Delta t_s) = V_{min}$:

$$\Delta t_s = T_s \ln \frac{V_{max}}{V_{min}} = 660 \cdot 10^{-6} \cdot \ln 3{,}2 \approx 0{,}77\ \mathrm{ms}$$

4. Energia e potenza

Energia nel condensatore ($W = \frac12 C v^2$):

$$W_{max} = \tfrac12 \cdot 330 \cdot 10^{-6} \cdot 320^2 \approx 16{,}9\ \mathrm J, \qquad W_{min} = \tfrac12 \cdot 330 \cdot 10^{-6} \cdot 100^2 \approx 1{,}65\ \mathrm J$$

Alla lampada va la differenza: $\Delta W = W_{max} - W_{min} \approx 15{,}2\ \mathrm J$, in meno di un millisecondo, cioè con una potenza media di circa $15{,}2 / 0{,}77 \cdot 10^{3} \approx 20\ \mathrm{kW}$ durante il lampo.

Per il riscaldamento della lampada conta invece la potenza media su un ciclo intero, che dura circa $\Delta t_c + \Delta t_s \approx 1\ \mathrm s$:

$$P = \frac{\Delta W}{\Delta t} \approx \frac{15{,}2\ \mathrm J}{1\ \mathrm s} \approx 15\ \mathrm W$$

Osservazione sul modello. La lampada allo xenon è fortemente non lineare: rappresentarla con un resistore costante serve solo a stimare gli ordini di grandezza.