Esercizio 3.24 - Thévenin e Norton di una rete a T

Testo (Eserciziario, es. 3.24). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 20\ \Omega$, $R_2 = 5\ \Omega$, $R_3 = 10\ \Omega$, $L_1 = 10\ \mathrm{mH}$, $L_2 = 25\ \mathrm{mH}$, $C_1 = 50\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 200\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$. Della rete a sinistra della porta AB determinare $\dot Z_{ABeq}$, $\bar V_{AB0}$ ($+$ in A) e $\bar I_{cc}$ (uscente da A).

Figura (descritta). Filo in basso = B. A sinistra il GIT $e$ ($+$ in alto). Sul filo in alto: $R_1$ e $L_1$ fino al nodo M; da M scende il ramo $R_3$–$C_1$ fino a B; da M proseguono $L_2$ e $R_2$ fino al morsetto A.

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 20 + j20\ \Omega$, $\bar V_{AB0} = 100\ \mathrm V$, $\bar I_{cc} = \frac52 - j\frac52\ \mathrm A$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E$: ampiezza $200$, valore efficace $100\sqrt2$: $\ \bar E = 100\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 100 + j100$.

Tre "lati" della T: $\dot Z_1 = R_1 + j\omega L_1 = 20 + j10$; $\ \dot Z_3 = R_3 - \frac{j}{\omega C_1} = 10 - j20$; $\ \dot Z_2 = R_2 + j\omega L_2 = 5 + j25$.

2. Impedenza equivalente

GIT in corto: da A si vede $\dot Z_2$ in serie al parallelo $\dot Z_1 \parallel \dot Z_3$:

$$\dot Z_1 \parallel \dot Z_3 = \frac{(20 + j10)(10 - j20)}{30 - j10} = \frac{400 - j300}{30 - j10} = \frac{(400 - j300)(30 + j10)}{1000} = 15 - j5$$

I due prodotti(20 + j10)(10 - j20) = 200 - j400 + j100 + 200 = 400 - j300. Poi (400 - j300)(30 + j10) = 12000 + j4000 - j9000 + 3000 = 15000 - j5000..

$$\boxed{\dot Z_{ABeq} = 15 - j5 + 5 + j25 = 20 + j20\ \Omega}$$

3. Tensione a vuoto

A vuoto $\dot Z_2$ non porta corrente: $\bar V_{AB0}$ è la tensione su $\dot Z_3$, partitore tra $\dot Z_1$ e $\dot Z_3$:

$$\bar V_{AB0} = \bar E\, \frac{\dot Z_3}{\dot Z_1 + \dot Z_3} = \frac{(100 + j100)(10 - j20)}{30 - j10} = \frac{3000 - j1000}{30 - j10} = 100\ \mathrm V$$

Il numeratore è esattamente $100$ volte il denominatore: $\boxed{\bar V_{AB0} = 100\ \mathrm V}$.

4. Corrente di cortocircuito

Dalla relazione tra Thévenin e Norton, $\bar V_{AB0} = \dot Z_{ABeq}\, \bar I_{cc}$:

$$\bar I_{cc} = \frac{100}{20 + j20} = \frac{5}{1 + j} = \frac{5(1 - j)}{2} = \frac52 - j\frac52\ \mathrm A$$

Verifica diretta. Con A in corto con B, $\dot Z_2$ è in parallelo a $\dot Z_3$: $\dot Z_2 \parallel \dot Z_3 = \frac{(5 + j25)(10 - j20)}{15 + j5} = \frac{550 + j150}{15 + j5} = 36 - j2$. La corrente dal GIT è $\frac{\bar E}{\dot Z_1 + 36 - j2} = \frac{100 + j100}{56 + j8}$, e il partitore dà $\bar I_{cc} = \frac{100 + j100}{56 + j8} \cdot \frac{10 - j20}{15 + j5}$. Facendo i conti: $\frac{3000 - j1000}{(56 + j8)(15 + j5)} = \frac{3000 - j1000}{800 + j400} = \frac{(3000 - j1000)(800 - j400)}{800\,000} = 2{,}5 - j2{,}5$ ✓.