Teorema del massimo trasferimento di potenza

Dispensa, paragrafo 10.10 (detto anche teorema di adattamento del carico). Si applica dopo aver ridotto la rete con i Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

Il problema

Una rete, rappresentata con il suo equivalente di Thévenin ($e_{eq}$ in serie a $R_i > 0$), alimenta un carico resistivo $R_u > 0$. Quale $R_u$ assorbe la massima potenza?

L'intuizione dice due cose contrastanti:

• se $R_u \to 0$ (cortocircuito) la corrente è massima ma la tensione sul carico è nulla: $P = 0$;
• se $R_u \to \infty$ (circuito aperto) la tensione è massima ma la corrente è nulla: $P = 0$.

In mezzo la potenza è positiva, quindi deve avere un massimo.

Il calcolo

Corrente nella maglia e potenza sul carico:

$$i = \frac{e_{eq}}{R_i + R_u}, \qquad P(R_u) = R_u\, i^2 = \frac{R_u\, e_{eq}^2}{(R_i + R_u)^2}$$

Si deriva rispetto a $R_u$ (regola del quoziente, con $e_{eq}$ e $R_i$ costanti):

$$\frac{dP}{dR_u} = e_{eq}^2\, \frac{(R_i + R_u)^2 - R_u \cdot 2(R_i + R_u)}{(R_i + R_u)^4} = e_{eq}^2\, \frac{(R_i + R_u) - 2R_u}{(R_i + R_u)^3} = \frac{e_{eq}^2\, (R_i - R_u)}{(R_i + R_u)^3}$$

(nel secondo passaggio si è semplificato un fattore $R_i + R_u$). Il segno dipende solo da $R_i - R_u$:

• per $R_u < R_i$ la derivata è positiva: $P$ cresce;
• per $R_u > R_i$ è negativa: $P$ decresce.

Quindi il massimo è in

$$\boxed{\;R_u = R_i\;} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;P_{max} = \frac{R_i\, e_{eq}^2}{(2R_i)^2} = \frac{e_{eq}^2}{4R_i}\;}$$

Esempio. $e_{eq} = 12\ \mathrm V$, $R_i = 3\ \Omega$: il carico adattato è $R_u = 3\ \Omega$, con $i = 2\ \mathrm A$ e $P_{max} = 12^2 / 12 = 12\ \mathrm W$. Con $R_u = 1\ \Omega$ si avrebbe $i = 3\ \mathrm A$ e $P = 9\ \mathrm W$; con $R_u = 9\ \Omega$, $i = 1\ \mathrm A$ e $P = 9\ \mathrm W$. Entrambi meno di $12\ \mathrm W$.

Con il modello di Norton ($i_{cc}$, $G_i$) il risultato è lo stesso: $G_u = G_i$ e $P_{max} = i_{cc}^2 / (4 G_i)$.

Il prezzo: rendimento al 50%

Nella condizione di adattamento la corrente è la stessa nei due resistori uguali: $R_i$ dissipa esattamente quanto $R_u$ riceve. Il generatore eroga $2 P_{max}$ e solo metà arriva al carico: rendimento $\eta = 50\%$.

Per questo:

• nei sistemi di potenza (rete elettrica) non si adatta il carico: si vuole un rendimento alto, quindi $R_u \gg R_i$;
• nelle telecomunicazioni e nell'elettronica dei segnali (antenne, amplificatori, linee) si adatta, perché il segnale è debole e conta portarne al carico il più possibile.

Attenzione: il teorema dice quale carico scegliere a generatore fissato. Se invece il carico è fissato e si può scegliere $R_i$, la potenza sul carico è massima per $R_i = 0$, non per $R_i = R_u$.

Esempi con l'equivalente di Thévenin: Esercizio 1.46 - Thévenin e potenza sul carico (dove $R_u = 1\ \Omega$ non è adattato a $R_{eq} = 3\ \Omega$: il carico riceve $2{,}25\ \mathrm W$, mentre con $R_u = 3\ \Omega$ ne riceverebbe $3\ \mathrm W$).