Esercizio 1.54 - Thévenin in due passi e amperometro

Testo (Eserciziario, es. 1.54). Rete a regime stazionario con $J = 8\ \mathrm A$, $E = 200\ \mathrm V$, $R_1 = 12\ \Omega$, $R_2 = 24\ \Omega$, $R_3 = 40\ \Omega$, $R_4 = 5\ \Omega$, $R_5 = 40\ \Omega$.

1. Della rete a sinistra della porta AB determinare $R_{eq}$ e la tensione a vuoto $V_{AB0}$ (con il $+$ su A).
2. Per la rete completa, determinare il valore $I_A$ misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo in basso = B; filo in alto a sinistra = D.

Risultati: $R_{eq} = 20\ \Omega$, $V_{AB0} = 45\ \mathrm V$, $I_A = \dfrac34\ \mathrm A$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

Strategia: Thévenin due volte. Prima si sostituisce la parte a sinistra della porta D–B (i tre rami verticali) con il suo equivalente, poi si aggiunge $R_4$.

1. Primo passo: porta D–B

Resistenza. Generatori spenti: il ramo $J$–$R_1$ diventa aperto ($R_1$ è in serie al GIC spento), il ramo $R_3$–$E$ diventa solo $R_3$:

$$R_{DB,eq} = R_2 \parallel R_3 = \frac{24 \cdot 40}{64} = 15\ \Omega$$

Tensione a vuoto (con la porta D–B aperta, cioè senza $R_4$ e il resto):

• solo $E$ ($J$ aperto): maglia $E$, $R_3$, $R_2$; il $+$ di $E$ è verso B, quindi la corrente sale in $R_2$ da B a D e $U_D$ è negativa: $V' = -E \dfrac{R_2}{R_2 + R_3} = -200 \cdot \dfrac{24}{64} = -75\ \mathrm V$;
• solo $J$ ($E$ in cortocircuito): $J$ porta $8\ \mathrm A$ in D, che tornano a B attraverso $R_2 \parallel R_3 = 15\ \Omega$: $V'' = 8 \cdot 15 = 120\ \mathrm V$.

$$V_{DB0} = -75 + 120 = 45\ \mathrm V$$

2. Secondo passo: porta A–B

Ora la parte sinistra è: GIT di $45\ \mathrm V$ ($+$ verso D), in serie a $15\ \Omega$, poi $R_4 = 5\ \Omega$ fino ad A.

• Resistenza: spegnendo il GIT restano $15 + 5$ in serie: $R_{eq} = 20\ \Omega$.
• Tensione a vuoto: con A aperto in $R_4$ non passa corrente, quindi $U_A = U_D$Un resistore senza corrente non ha tensione: i suoi due capi sono allo stesso potenziale.: $V_{AB0} = 45\ \mathrm V$.

3. L'amperometro

Amperometro = cortocircuito: fuori resta $R_5$ tra A e B. Corrente nel ramo esterno, da A verso B:

$$\boxed{I_A = \frac{V_{AB0}}{R_{eq} + R_5} = \frac{45}{60} = 0{,}75\ \mathrm A}$$

L'amperometro misura dal $+$ (in alto, verso A) al $-$ (in basso): proprio il verso da A verso B, quindi il valore è positivo.

Perché due passi. Con un solo passo si dovrebbe calcolare la tensione a vuoto in A con tutta la rete: si può, ma il passo intermedio riduce tre rami a un generatore reale e il resto diventa banale.