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Note per Studenti Esercizio 1.58 - potenziali di nodo con due GIT e due GIC

Esercizio 1.58 - potenziali di nodo con due GIT e due GIC

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Testo (Eserciziario, es. 1.58). Rete a regime stazionario con J1=5 AJ_1 = 5\ \mathrm A, J2=6 AJ_2 = 6\ \mathrm A, E1=160 VE_1 = 160\ \mathrm V, E2=120 VE_2 = 120\ \mathrm V, R1=R2=R3=R4=40 ΩR_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 40\ \Omega. Prendendo il nodo A come riferimento, determinare UBU_B e UCU_C.

Figura (descritta). Filo in alto = A, filo in basso = C, nodo B a metà altezza al centro.

Bipolo Tra i nodi Note
J1J_1 C → A lato sinistro, freccia in su
R1R_1 A – C verticale
R2R_2 A – B verticale al centro, in alto
J2J_2 B → A a destra di R2R_2, freccia in su (verso A)
E1E_1 + R3R_3 B – C ramo centrale in basso: E1E_1 sotto B con il ++ in alto, poi R3R_3 fino a C
R4R_4 + E2E_2 A – C lato destro: R4R_4 in alto, E2E_2 in basso con il −- in alto e il ++ verso C

Risultati: UB=−96 VU_B = -96\ \mathrm V, UC=−112 VU_C = -112\ \mathrm V.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

1. Trasformare i due rami GIT–R

  • E1E_1–R3R_3 (tra B e C, ++ verso B): GIC Jp1=E1/R3=4 AJ_{p1} = E_1/R_3 = 4\ \mathrm A con la freccia verso B (entra in B, esce da C), in parallelo a Rp1=40 ΩR_{p1} = 40\ \Omega.
  • R4R_4–E2E_2 (tra A e C, ++ verso C): GIC Jp2=E2/R4=3 AJ_{p2} = E_2/R_4 = 3\ \mathrm A con la freccia verso C (entra in C, esce da A), in parallelo a Rp2=40 ΩR_{p2} = 40\ \Omega.

Ora ci sono solo resistori e GIC: due equazioni (nodi B e C), A è il riferimento.

2. Le equazioni

Nodo Autoconduttanza Mutua con l'altro nodo Correnti impresse entranti
B 1R2+1Rp1=0,05\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_{p1}} = 0{,}05 1Rp1=0,025\frac{1}{R_{p1}} = 0{,}025 −J2-J_2 (esce), +Jp1+J_{p1} (entra): −6+4=−2-6 + 4 = -2
C 1R1+1Rp1+1Rp2=0,075\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_{p1}} + \frac{1}{R_{p2}} = 0{,}075 0,0250{,}025 −J1-J_1, −Jp1-J_{p1}, +Jp2+J_{p2}: −5−4+3=−6-5 - 4 + 3 = -6

{0,05 UB−0,025 UC=−2−0,025 UB+0,075 UC=−6\begin{cases} 0{,}05\, U_B - 0{,}025\, U_C = -2 \\ -0{,}025\, U_B + 0{,}075\, U_C = -6 \end{cases}

3. Risoluzione

Dalla prima: UB=−40+0,5 UCU_B = -40 + 0{,}5\, U_C. Nella seconda:

−0,025(−40+0,5 UC)+0,075 UC=−6⟹1+0,0625 UC=−6⟹UC=−112 V-0{,}025(-40 + 0{,}5\, U_C) + 0{,}075\, U_C = -6 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 0{,}0625\, U_C = -6 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{U_C = -112\ \mathrm V}

UB=−40−56=−96 V\boxed{U_B = -40 - 56 = -96\ \mathrm V}

4. Verifica sulla rete originale

Correnti verso il nodo C (con UA=0U_A = 0):

  • da R1R_1: (0−(−112))/40=2,8 A(0 - (-112))/40 = 2{,}8\ \mathrm A;
  • dal ramo E1E_1–R3R_3: il nodo tra E1E_1 e R3R_3 sta a UB−E1=−256 VU_B - E_1 = -256\ \mathrm V, quindi in R3R_3 passano (−256+112)/40=−3,6 A(-256 + 112)/40 = -3{,}6\ \mathrm A verso C, cioè 3,6 A3{,}6\ \mathrm A escono da C;
  • dal ramo R4R_4–E2E_2: il nodo tra R4R_4 ed E2E_2 sta a UC−E2=−232 VU_C - E_2 = -232\ \mathrm V; in R4R_4 passano (0+232)/40=5,8 A(0 + 232)/40 = 5{,}8\ \mathrm A da A verso il basso, che arrivano in C;
  • J1J_1 esce da C con 5 A5\ \mathrm A.

Entranti 2,8+5,8=8,62{,}8 + 5{,}8 = 8{,}6; uscenti 3,6+5=8,63{,}6 + 5 = 8{,}6 ✓.

Le frecce dei GIC equivalentiLa freccia punta sempre verso il morsetto + del GIT che sostituiscono: è la condizione perché il GIC faccia uscire corrente dallo stesso lato del GIT. sono la fonte di errore più frequente in questo tipo di esercizio.

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