Esercizio 1.35 - correnti di anello, GIC in parallelo a un resistore

Testo (Eserciziario, es. 1.35). Rete a regime stazionario con $J = 4\ \mathrm A$, $E = 30\ \mathrm V$, $R_1 = R_2 = 10\ \Omega$. Calcolare la potenza $P_{R2}$ entrante nel resistore $R_2$.

Figura (descritta). Filo in alto e filo in basso, collegati da tre rami verticali. Da sinistra: il GIC $J$ con la freccia in su; il resistore $R_1$; un ramo con $R_2$ (in alto) ed $E$ (in basso, $+$ in alto).

Risultato: $P_{R2} = \dfrac52\ \mathrm W = 2{,}5\ \mathrm W$.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →, Equivalenza tra generatore reale di tensione e di correnteUn GIT e in serie a un resistore R_s ha la stessa caratteristica di un GIC j in parallelo a una conduttanza G_p se G_p = 1/R_s e j = e/R_s (viceversa e = j/G_p = j·R). Il verso conta: la freccia del GIC punta verso il morsetto + del GIT. L'equivalenza vale solo verso l'esterno e non esiste per il GIT da solo (R_s = 0) né per il GIC da solo (G_p = 0).Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →.

Metodo 1: correnti di anello modificato

Due anelli, correnti orarie $I_{A1}$ (sinistra: $J$ e $R_1$) e $I_{A2}$ (destra: $R_1$ e il ramo $R_2$–$E$). Incognita in più: la tensione $V_J$ del GIC ($+$ in alto).

GIC sul bordo: l'anello 1 sale nel lato sinistro come la freccia, quindi $I_{A1} = J = 4\ \mathrm A$.

Anello 2 (sale in $R_1$, scende nel ramo $R_2$–$E$; scendendo si attraversa $E$ dal $+$ al $-$, quindi $-E$):

$$(R_1 + R_2)\, I_{A2} - R_1 I_{A1} = -E \quad\Longrightarrow\quad 20\, I_{A2} - 40 = -30 \quad\Longrightarrow\quad I_{A2} = \frac12\ \mathrm A$$

Anello 1 (per $V_J$): $R_1 (I_{A1} - I_{A2}) = V_J \ \Rightarrow\ V_J = 10 \cdot 3{,}5 = 35\ \mathrm V$.

In $R_2$ passa solo l'anello 2: $I_{R2} = 0{,}5\ \mathrm A$.

$$\boxed{P_{R2} = R_2 I_{R2}^2 = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\ \mathrm W}$$

Metodo 2: trasformare il generatore

$J$ e $R_1$ sono in parallelo (stessi due nodi): formano un generatore reale di corrente. Lo si trasforma nell'equivalente serie (equivalenzaStesso resistore, messo in serie; la f.e.m. vale J·R con il + verso cui puntava la freccia del GIC.Equivalenza tra generatore reale di tensione e di corrente →):

$$E_{eq} = J R_1 = 40\ \mathrm V \ (\text{con il } + \text{ in alto}), \qquad R_s = R_1 = 10\ \Omega$$

Resta un'unica maglia: $E_{eq}$ e $R_1$ a sinistra, $R_2$ ed $E$ a destra. I due GIT hanno entrambi il $+$ in alto, quindi nella maglia si oppongono:

$$I = \frac{E_{eq} - E}{R_1 + R_2} = \frac{40 - 30}{20} = 0{,}5\ \mathrm A$$

(che scende nel ramo di destra). Stesso risultato, con meno conti. Questo metodo dà però solo le grandezze fuori dal generatore trasformato: la corrente vera in $R_1$ ($3{,}5\ \mathrm A$) va ricalcolata sulla rete originale, per esempio con la LKC: $J - I = 3{,}5\ \mathrm A$.

Verifica

Potenze: $J$ eroga $V_J J = 140\ \mathrm W$; $R_1$ assorbe $35^2/10 = 122{,}5\ \mathrm W$; $R_2$ assorbe $2{,}5\ \mathrm W$; in $E$ la corrente ($0{,}5\ \mathrm A$) scende ed entra nel $+$: $E$ assorbe $15\ \mathrm W$. Bilancio: $140 = 122{,}5 + 2{,}5 + 15$ ✓.