Esercizio 1.25 - resistenza equivalente con diagonale

Testo (Eserciziario, es. 1.25). Rete in regime stazionario con $R_1 = 60\ \Omega$, $R_2 = 30\ \Omega$, $R_3 = 60\ \Omega$, $R_4 = 60\ \Omega$, $R_5 = 30\ \Omega$. Calcolare la resistenza equivalente $R_{eq}$ alla porta AB.

Figura (descritta).

• $R_2$ in verticale tra A (in alto a sinistra) e B (in basso a sinistra).
• $R_1$ in orizzontale in alto, da A al nodo T.
• $R_3$ in diagonale da B a T.
• $R_4$ in orizzontale in basso, da B al nodo T'.
• Un filo verticale collega T a T'.
• $R_5$ in verticale più a destra, con un capo collegato al filo superiore (nodo T) e l'altro al filo inferiore (nodo T').

  A ●───┬───/\/\/───● T ──────┐
        │    R1   ╱ │         │
       R2      R3   │(filo)   R5
        │     ╱     │         │
  B ●───┴───/\/\/───● T' ─────┘
             R4

Risultato: $R_{eq} = \dfrac{45}{2}\ \Omega = 22{,}5\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →, Esercizio 1.13 - parallelo di due resistori e casi limite.

1. Il filo verticale

Il filo tra T e T' è un cortocircuito: T e T' sono lo stesso nodo. Conseguenze:

• $R_5$ ha entrambi i capi su questo nodo: è in parallelo a un cortocircuito, quindi ha corrente nullaTensione nulla ai capi (i due nodi sono lo stesso nodo) e quindi, per la legge di Ohm, corrente nulla. e si cancella;
• $R_4$, che va da B a T', in realtà va da B a T.

2. $R_3$ e $R_4$ in parallelo

Ora $R_3$ (diagonale) e $R_4$ (in basso) collegano entrambi B e T: sono in parallelo.

$$R_6 = R_3 \parallel R_4 = \frac{60}{2} = 30\ \Omega$$

3. Serie e parallelo finali

Da A si va a T con $R_1$ e da T a B con $R_6$; nel nodo T non arriva più nient'altro: serie, $R_1 + R_6 = 60 + 30 = 90\ \Omega$ tra A e B. In parallelo a questa serie c'è $R_2$:

$$\boxed{R_{eq} = \frac{R_2\,(R_1 + R_6)}{R_2 + R_1 + R_6} = \frac{30 \cdot 90}{120} = \frac{2700}{120} = \frac{45}{2} = 22{,}5\ \Omega}$$

Errori comuni

• Considerare $R_5$ in parallelo a $R_3$ o a $R_4$: i suoi due capi sono sullo stesso nodo.
• Non accorgersi che la diagonale $R_3$ arriva proprio al nodo T, e cercare una stella o un triangolo dove non serve.