Esercizio 1.37 - correnti di anello modificato con due GIC

Testo (Eserciziario, es. 1.37). Rete in regime stazionario con GIT, resistori e due GIC: $R_1 = 4\ \Omega$, $R_3 = 2\ \Omega$, $R_4 = 2\ \Omega$, $R_6 = 4\ \Omega$, $E_1 = 20\ \mathrm V$, $E_3 = 20\ \mathrm V$, $E_4 = 10\ \mathrm V$, $E_6 = 10\ \mathrm V$, $J_2 = 5\ \mathrm A$, $J_5 = 4\ \mathrm A$. Con il metodo delle correnti di anello modificato calcolare $I_1$, $I_3$, $I_4$, $I_6$ e le tensioni $V_{J2}$, $V_{J5}$.

Figura (descritta). Tre fili orizzontali: in alto, a metà altezza, in basso.

• In alto, da sinistra: $R_1$ (con $I_1$ verso destra) fino al punto M, poi $E_3$ ($-$ a sinistra, $+$ a destra); poi il lato destro scende con $R_3$ ($I_3$ verso il basso) fino al filo di mezzo.
• Lato sinistro in alto: $E_1$ con il $+$ in alto, dal filo in alto al filo di mezzo.
• Filo di mezzo, da sinistra: $E_6$ ($-$ a sinistra, $+$ a destra), $R_6$ ($I_6$ verso destra) fino al punto centrale C, poi $E_4$ ($-$ a sinistra, $+$ a destra), $R_4$ ($I_4$ verso destra) fino al lato destro.
• Ramo verticale centrale: $J_2$ tra C (sotto) e M (sopra), freccia in su; $V_{J2}$ con il $+$ in alto.
• In basso: $J_5$ dall'estremo sinistro all'estremo destro del filo di mezzo (passando per il filo in basso), freccia verso destra; $V_{J5}$ con il $+$ a destra.

Risultati: $I_1 = -2\ \mathrm A$, $I_3 = 3\ \mathrm A$, $I_4 = -7\ \mathrm A$, $I_6 = -2\ \mathrm A$, $V_{J2} = 10\ \mathrm V$, $V_{J5} = 42\ \mathrm V$.

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →. È l'esempio con cui la dispensa introduce il metodo modificato.

1. Impostazione

Tre anelli, correnti orarie:

• $I_{A1}$: anello in alto a sinistra ($E_1$, $R_1$, $J_2$, $R_6$, $E_6$);
• $I_{A2}$: anello in alto a destra ($E_3$, $R_3$, $R_4$, $E_4$, $J_2$);
• $I_{A3}$: anello in basso (il filo di mezzo e $J_5$).

Due GIC senza resistori in parallelo: incognite in più $V_{J2}$ e $V_{J5}$. In totale 5 incognite, servono 5 equazioni: 3 LKT sugli anelli + 2 equazioni dei GIC.

2. Le equazioni dei GIC

• $J_2$ (freccia in su) sta tra gli anelli 1 e 2: l'anello 1, orario, lo percorre in giù; l'anello 2 in su. Quindi $J_2 = I_{A2} - I_{A1}$.
• $J_5$ (freccia verso destra) sta solo nell'anello 3, che sul filo in basso va da destra a sinistra: $J_5 = -I_{A3}$, cioè $I_{A3} = -4\ \mathrm A$.

3. Le LKT sugli anelli

Ogni GIC si tratta come un GIT di f.e.m. $V_J$: con il $+$ se l'anello lo attraversa dal $-$ al $+$.

Anello 1: sale in $E_1$ ($+E_1$); in alto attraversa $R_1$; scende in $J_2$ dal $+$ al $-$ ($-V_{J2}$); sul filo di mezzo va verso sinistra attraversando $R_6$ ed $E_6$ dal $+$ al $-$ ($-E_6$). Resistenze: $R_1$ (solo anello 1) e $R_6$ (in comune con l'anello 3).

$$(R_1 + R_6)\, I_{A1} - R_6 I_{A3} = E_1 - E_6 - V_{J2}$$

Anello 2: va verso destra in $E_3$ ($+E_3$), scende in $R_3$, va verso sinistra in $R_4$ ed $E_4$ ($-E_4$), sale in $J_2$ dal $-$ al $+$ ($+V_{J2}$).

$$(R_3 + R_4)\, I_{A2} - R_4 I_{A3} = E_3 - E_4 + V_{J2}$$

Anello 3: sul filo di mezzo va verso destra ($+E_6$, $+E_4$, resistori $R_6$ e $R_4$ in comune con gli anelli 1 e 2), poi sul filo in basso verso sinistra attraversando $J_5$ dal $+$ al $-$ ($-V_{J5}$).

$$(R_4 + R_6)\, I_{A3} - R_6 I_{A1} - R_4 I_{A2} = E_4 + E_6 - V_{J5}$$

4. Risoluzione

Sommando le equazioni degli anelli 1 e 2, $V_{J2}$ si cancella:

$$8\, I_{A1} - 4\, I_{A3} + 4\, I_{A2} - 2\, I_{A3} = 20 - 10 + 20 - 10 = 20$$

Con $I_{A2} = I_{A1} + 5$ e $I_{A3} = -4$:

$$8\, I_{A1} + 4\, I_{A1} + 20 + 24 = 20 \quad\Longrightarrow\quad 12\, I_{A1} = -24 \quad\Longrightarrow\quad I_{A1} = -2\ \mathrm A,\ \ I_{A2} = 3\ \mathrm A$$

La somma delle due LKTÈ la LKT sulla maglia che gira attorno ai due anelli superiori senza passare per J2: la tensione del GIC non compare. è il modo più rapido per liberarsi della tensione del GIC interno.

Tensioni dei GIC:

• anello 1: $8 \cdot (-2) - 4 \cdot (-4) = 0 = 10 - V_{J2}$, quindi $V_{J2} = 10\ \mathrm V$;
• anello 3: $6 \cdot (-4) - 4 \cdot (-2) - 2 \cdot 3 = -22 = 20 - V_{J5}$, quindi $V_{J5} = 42\ \mathrm V$.

5. Correnti di lato

6. Verifica: bilancio delle potenze

Resistori: $4 \cdot 4 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 49 + 4 \cdot 4 = 16 + 18 + 98 + 16 = 148\ \mathrm W$.

Generatori (correnti dei GIT prese uscenti dal $+$, uguali alle correnti dei rami: $I_{E1} = I_1$, $I_{E3} = I_3$, $I_{E4} = I_4$, $I_{E6} = I_6$): $P_{E1} = -40$, $P_{E3} = 60$, $P_{E4} = -70$, $P_{E6} = -20\ \mathrm W$; GIC: $P_{J2} = V_{J2} J_2 = 50$, $P_{J5} = V_{J5} J_5 = 168\ \mathrm W$. Somma: $-40 + 60 - 70 - 20 + 50 + 168 = 148\ \mathrm W$ ✓.

Tre GIT su quattro assorbono potenza: la rete è "spinta" soprattutto dai due GIC.