Esercizio 1.20 - resistenza equivalente, rete a scala

Testo (Eserciziario, es. 1.20). Calcolare la resistenza equivalente tra A e B della rete in figura (valori in ohm).

Figura (descritta). Dal morsetto A parte un resistore da $25\ \Omega$ verso il nodo X; dal morsetto B parte un resistore da $15\ \Omega$ verso il nodo Z. Poi la rete si sviluppa verso destra come una scala:

Risultato: $R_{eq} = 52\ \Omega$.

Teoria: Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangoloUna rete di soli resistori passivi vista da due morsetti A e B equivale a un unico resistore R_eq. Si calcola riducendo la rete con serie e parallelo, partendo dalla parte più lontana dai morsetti. Quando serie e parallelo non bastano (ponti), si usa la trasformazione triangolo→stella (R_A = R_AB·R_CA / somma) o stella→triangolo (R_AB = (R_A R_B + R_B R_C + R_C R_A)/R_C). Con tre resistori uguali R_Δ = 3 R_Y.Resistenza equivalente e trasformazione stella-triangolo →.

Strategia. Si parte dall'estremità più lontana da A e B (il lato destro) e si "arrotola" la scala verso sinistra.

1. Il fondo a destra: $30$, $10$, $60$, $6$

• Nel nodo T arrivano solo il $30$ e il $10$: serieUn nodo con soli due resistori impone, per la LKC, la stessa corrente in entrambi: è la definizione di serie., $R_1 = 30 + 10 = 40\ \Omega$, tra Y e U.
• Ora tra Y e U ci sono $R_1 = 40$ e il $60$: parallelo, $R_2 = \dfrac{40 \cdot 60}{40 + 60} = \dfrac{2400}{100} = 24\ \Omega$.
• Nel nodo U arrivano ora solo $R_2$ e il $6$: serie, $R_3 = 24 + 6 = 30\ \Omega$, tra Y e W.

2. Il secondo piolo

Tra Y e W ci sono il $20$ e $R_3 = 30$: parallelo,

$$R_4 = \frac{20 \cdot 30}{20 + 30} = \frac{600}{50} = 12\ \Omega$$

E i due resistori da $8\ \Omega$, entrambi tra X e Y, sono in parallelo: $R_5 = 8/2 = 4\ \Omega$.

3. Il primo piolo

Il percorso X → Y → W → Z passa per $R_5 = 4$, $R_4 = 12$ e il $2$, con nodi intermedi (Y e W) senza più altri collegamenti: serie,

$$R_6 = 4 + 12 + 2 = 18\ \Omega \quad \text{(tra X e Z)}$$

Tra X e Z c'è anche il $36$: parallelo,

$$R_7 = \frac{18 \cdot 36}{18 + 36} = \frac{648}{54} = 12\ \Omega$$

4. Ai morsetti

Da A a B si incontrano in fila $25$, $R_7 = 12$ e $15$: serie,

$$\boxed{R_{eq} = 25 + 12 + 15 = 52\ \Omega}$$

Un'osservazione sulle scale. In una rete a scala ogni passo alterna una serie (il tratto orizzontale) e un parallelo (il piolo). Partendo dal fondo, ogni piolo "assorbe" tutto quello che c'è alla sua destra. Partendo da A e B invece non si trova niente da semplificare: ai morsetti tutto dipende da tutto.

Errori comuni

• Mettere in parallelo il $60$ con il solo $30$ (o con il solo $10$): il $60$ va da Y a U, e tra Y e U c'è la serie $30 + 10$.
• Considerare il $2$ in serie con il $6$: nel nodo W arriva anche il $20$, quindi no.