Esercizio 1.9 - serie di due resistori e casi limite

Testo (Eserciziario, es. 1.9). Determinare il bipolo equivalente a:

1. la serie di due resistori ideali $R_1$ e $R_2$;
2. la serie di un cortocircuito e un resistore ideale;
3. la serie di un cortocircuito e un circuito aperto;
4. la serie di un resistore ideale e un circuito aperto.

Risultati: (1) resistore $R_S = R_1 + R_2$; (2) resistore $R_S = R_2$; (3) circuito aperto; (4) circuito aperto.

Teoria: Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →.

1. Due resistori in serie

Riferimenti. Si prende la corrente $I_S$ del bipolo complessivo entrante dal morsetto superiore e la tensione $V_S$ con il $+$ in alto (convenzione dell'utilizzatore). Su $R_1$ e $R_2$ si prendono le correnti $I_1$, $I_2$ nello stesso verso di $I_S$ e le tensioni con la stessa convenzione.

Equazioni.

• LKC al nodo tra i due resistori, a cui non è collegato nient'altro: tutta la corrente che arriva da un resistore va nell'altro, quindi $I_S = I_1 = I_2$.
• LKT sul giro che passa per i due resistori e chiude sui morsetti: $V_S = V_1 + V_2$.
• Bipoli: $V_1 = R_1 I_1$, $V_2 = R_2 I_2$ (legge di OhmCon la convenzione dell'utilizzatore la tensione su un resistore è V = R·I.Resistore e legge di Ohm →).

Soluzione. Si sostituiscono le equazioni dei bipoli nella LKT e si usa che le correnti sono tutte uguali a $I_S$:

$$V_S = R_1 I_S + R_2 I_S = (R_1 + R_2)\, I_S$$

È l'equazione di un resistore: resistore equivalente $R_S = R_1 + R_2$.

2. Cortocircuito in serie a un resistore

Il cortocircuito è il caso limite del resistore con $R = 0$: si rifà lo stesso conto con il resistore 1 sostituito da un cortocircuito. LKC e LKT non cambiano (dipendono solo dai collegamenti); cambia solo l'equazione del bipolo 1:

$$V_1 = 0 \quad \text{per ogni } I_1$$

Quindi $V_S = 0 + V_2 = R_2 I_S$: resistore equivalente $R_S = R_2$. Il cortocircuito in serie non aggiunge tensione e si può togliere (il resto della rete non se ne accorge).

3. Cortocircuito in serie a un circuito aperto

Ora il bipolo 2 è un circuito aperto ($G = 0$):

$$V_1 = 0 \ \ \forall I_1, \qquad I_2 = 0 \ \ \forall V_2$$

La LKC dice $I_S = I_1 = I_2$, e $I_2$ è forzata a zero: quindi $I_S = 0$ qualunque sia $V_S$ (la tensione $V_S = V_2$ cade tutta sul circuito aperto e può essere qualsiasi). L'equazione $I_S = 0\ \forall V_S$ è quella di un circuito aperto.

4. Resistore in serie a un circuito aperto

$$V_1 = R_1 I_1, \qquad I_2 = 0 \ \ \forall V_2$$

Di nuovo il circuito aperto impone $I_2 = 0$, e quindi $I_1 = I_S = 0$. Allora $V_1 = R_1 \cdot 0 = 0$: il resistore non ha tensione, e $V_S = V_2$ è arbitraria. Il bipolo equivalente è un circuito aperto.

Che cosa ricordare. In serie conta la corrente comune: basta un elemento che la forza a zero (un circuito aperto) perché tutta la serie sia un circuito aperto. Un resistore in serie a un circuito aperto non porta corrente e non ha tensione: è come se non ci fosse, ma resta "appeso" alla rete. È la situazione del resistore da $12\ \Omega$ in Esercizio 1.22 - resistenza equivalente con un cortocircuito.

Confronta con il caso duale del parallelo: Esercizio 1.13 - parallelo di due resistori e casi limite.

Errori comuni

• Pensare che nel caso 4 sul resistore ci sia tensione perché "è collegato": senza corrente, $V = RI = 0$.
• Nel caso 3, dire che il bipolo equivalente è un cortocircuito perché "c'è un filo": il filo è in serie a un'interruzione, quindi la corrente non passa.