Esercizio 1.36 - correnti di anello con due GIT

Testo (Eserciziario, es. 1.36). Rete in regime stazionario con GIT e resistori: $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 6\ \Omega$, $R_3 = 4\ \Omega$, $R_4 = 20\ \Omega$, $R_5 = 2\ \Omega$, $E_1 = 30\ \mathrm V$, $E_2 = 32\ \mathrm V$. Con il metodo delle correnti di anello calcolare le correnti indicate in figura.

Figura (descritta). Un filo in basso e, in alto, una catena di tre resistori orizzontali $R_5$, $R_3$, $R_2$ (da sinistra). Rami verticali, da sinistra:

$I_5$, $I_3$, $I_2$ sono prese verso destra nei resistori in alto.

Risultati: $I_1 = 0$, $I_2 = -5\ \mathrm A$, $I_3 = -5\ \mathrm A$, $I_4 = -1\ \mathrm A$, $I_5 = -6\ \mathrm A$, $I_{E1} = 5\ \mathrm A$, $I_{E2} = 6\ \mathrm A$.

(Nella riga "Risultati" dell'Eserciziario compaiono "$I_5 = 5\ \mathrm A$, $I_6 = 6\ \mathrm A$", ma nella figura non c'è una $I_6$: i valori $5$ e $6$ sono le correnti dei generatori, e la soluzione dell'Eserciziario stesso trova $I_5 = I_{A1} = -6\ \mathrm A$.)

Teoria: Metodo delle correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →. È l'esempio con cui la dispensa introduce il metodo.

1. Impostazione

Tre anelli, correnti orarie: $I_{A1}$ (sinistra: $E_2$, $R_5$, $R_4$), $I_{A2}$ (centro: $R_4$, $R_3$, $R_1$), $I_{A3}$ (destra: $R_1$, $R_2$, $E_1$). Solo resistori e GIT: metodo base, tre equazioni.

2. Le equazioni per ispezione

$$\begin{cases} 22\, I_{A1} - 20\, I_{A2} = -32 \\ -20\, I_{A1} + 34\, I_{A2} - 10\, I_{A3} = 0 \\ -10\, I_{A2} + 16\, I_{A3} = -30 \end{cases}$$

La matrice è simmetrica (i coefficienti $-20$ e $-10$ compaiono a specchio), come deve essere.

3. Risoluzione

Dalla prima: $I_{A1} = \dfrac{20\, I_{A2} - 32}{22}$. Dalla terza: $I_{A3} = \dfrac{10\, I_{A2} - 30}{16}$. Sostituendo nella seconda e moltiplicando per 176 (il minimo comune multiplo di 22 e 16):

$$-160\,(20\, I_{A2} - 32) + 5984\, I_{A2} - 110\,(10\, I_{A2} - 30) = 0$$

$$-3200\, I_{A2} + 5120 + 5984\, I_{A2} - 1100\, I_{A2} + 3300 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1684\, I_{A2} = -8420 \quad\Longrightarrow\quad I_{A2} = -5\ \mathrm A$$

Quindi $I_{A1} = \dfrac{-100 - 32}{22} = -6\ \mathrm A$ e $I_{A3} = \dfrac{-50 - 30}{16} = -5\ \mathrm A$.

4. Le correnti di lato

Per ogni lato si guarda quali anelli lo percorrono e in che verso rispetto al riferimento:

$I_1 = 0$ non è un caso. Il nodo in alto sopra $R_1$ e il filo in basso hanno la stessa tensione: a destra, $E_1 = 30\ \mathrm V$ meno la caduta su $R_2$ ($6 \cdot 5 = 30\ \mathrm V$) dà zero. Su $R_1$ non c'è tensione e quindi non c'è corrente.

5. Verifica: bilancio delle potenze

$I_{E1}$ esce dal $+$ di $E_1$ e $I_{E2}$ esce dal $+$ di $E_2$ (in basso, verso il basso): entrambi in convenzione del generatore. $P_{E1} = 30 \cdot 5 = 150\ \mathrm W$, $P_{E2} = 32 \cdot 6 = 192\ \mathrm W$, totale $342\ \mathrm W$.

Resistori ($R I^2$): $R_1$: $0$; $R_2$: $6 \cdot 25 = 150$; $R_3$: $4 \cdot 25 = 100$; $R_4$: $20 \cdot 1 = 20$; $R_5$: $2 \cdot 36 = 72$; totale $342\ \mathrm W$ ✓.

6. Con le correnti di anello antiorarie

Se si scelgono tutte le correnti di anello antiorarie, il primo membro del sistema resta identico e cambiano segno i termini noti ($+32$, $0$, $+30$). Le correnti di anello cambiano segno ($6$, $5$, $5\ \mathrm A$), ma anche le relazioni tra correnti di lato e di anello cambiano segno (per esempio $I_5 = -I_{A1}$): le correnti di lato tornano identiche.