Domanda d'esame - transitorio di scarica di un circuito RC

Testo (domanda di teoria dei compitini, per esempio 17/01/2024 tema B). Transitorio di scarica di un circuito R-C:

• disegnare il circuito e indicare i riferimenti adottati;
• svolgere l'analisi del circuito per $t < 0$ e per $t = 0$;
• ricavare l'equazione differenziale di rete per $t > 0$;
• calcolare la tensione sul condensatore e tracciarne il grafico.

Teoria: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →, CondensatoreIl condensatore ideale ha q = C v e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, i = C dv/dt (C in farad). È un bipolo dinamico con memoria: v(t) = v(t0) + (1/C) ∫ i dt. Con corrente limitata la tensione è continua (non può saltare). Immagazzina l'energia W_C = ½ C v², senza dissiparla: è passivo e la sua variabile di stato è la tensione. In regime stazionario è un circuito aperto. Serie: 1/C_s = Σ 1/C_k; parallelo: C_p = Σ C_k (al contrario dei resistori).Condensatore →.

1. Schema e riferimenti

Una maglia con il condensatore $C$, il resistore $R$ e un interruttore S aperto per $t < 0$, che si chiude in $t = 0$. Riferimenti: corrente $i$ che percorre la maglia; $v_C$ e $v_R$ entrambe con la convenzione dell'utilizzatore rispetto a $i$.

2. Analisi per $t < 0$ e $t = 0$

Per $t < 0$ il circuito è aperto, $i = 0$, e il condensatore è carico a una tensione $V_0 \ne 0$ (per esempio caricato in precedenza da un generatore poi scollegato): $v_C(0^-) = V_0$.

Per la continuità della variabile di stato: $v_C(0^+) = V_0$.

3. Equazione per $t > 0$

$$\begin{cases} v_R + v_C = 0 \\ i_R = i_C = i \\ v_R = R\, i \\ i = C\, \dfrac{dv_C}{dt} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad RC\, \frac{dv_C}{dt} + v_C = 0, \qquad v_C(0) = V_0$$

L'equazione è omogenea (non ci sono generatori): la soluzione particolare è nulla.

4. Soluzione

$v_C = A\, e^{-t/T}$ con $T = RC$, e dalla condizione iniziale $A = V_0$:

$$\boxed{v_C(t) = V_0\, e^{-t/T}, \qquad i(t) = C\, \frac{dv_C}{dt} = -\frac{V_0}{R}\, e^{-t/T}}$$

Commento. La corrente è negativa perché, con la convenzione dell'utilizzatore, il condensatore sta erogando: la carica passa da un'armatura all'altra attraverso il resistore. Salta da $0$ a $-V_0/R$ in $t = 0$ (in $0^+$ tutta la $V_0$ è su $R$). Tensione e corrente si annullano con la stessa costante di tempo. Per $t \to \infty$ si ritrova la soluzione di regime stazionario: condensatore aperto, $i = 0$, $v_R = 0$, quindi $v_C = -v_R = 0$.

È un esempio di evoluzione libera: la risposta dipende solo dalla condizione iniziale.

5. Esempio numerico

$V_0 = 100\ \mathrm V$, $R = 10\ \mathrm{k\Omega}$, $C = 10\ \mu\mathrm F$.

• $T = RC = 0{,}1\ \mathrm s$; $i(0^+) = -V_0/R = -10\ \mathrm{mA}$.
• Tempo per scendere a $10\ \mathrm V$: $e^{-t/T} = 0{,}1 \Rightarrow t = T\ln 10 = 0{,}23\ \mathrm s$.
• Energia dissipata in $R$ durante tutta la scarica: è l'energia iniziale del condensatore, $\frac12 C V_0^2 = \frac12 \cdot 10^{-5} \cdot 10^4 = 0{,}05\ \mathrm J$.