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Note per Studenti Esercizio 3.8 - partitore di tensione con impedenze

Esercizio 3.8 - partitore di tensione con impedenze

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Testo (Eserciziario, es. 3.8). Rete a regime sinusoidale con R=10 ΩR = 10\ \Omega, L=10 mHL = 10\ \mathrm{mH}, C=50 μFC = 50\ \mu\mathrm F e e(t)=400cos⁡(1000t+π4)e(t) = 400\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right). Determinare la corrente ie(t)i_e(t) e i valori efficaci VLV_L, VRV_R, VCV_C.

Figura (descritta). Una sola maglia: il GIT e(t)e(t) (++ in alto, iei_e uscente dal ++), poi in serie LL, RR e CC.

Risultati: ie(t)=202cos⁡(1000t+π/2)i_e(t) = 20\sqrt2\cos(1000t + \pi/2); VL=200 VV_L = 200\ \mathrm V, VR=200 VV_R = 200\ \mathrm V, VC=400 VV_C = 400\ \mathrm V.

Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →, Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza →.

1. Rete simbolica

Fasore del generatore. L'ampiezza è 400400 (senza 2\sqrt2), quindi il valore efficace è 400/2=2002400/\sqrt2 = 200\sqrt2:

Eˉ=2002 ejπ/4=2002(22+j22)=200(1+j)\bar E = 200\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 200\sqrt2\left(\tfrac{\sqrt2}{2} + j\tfrac{\sqrt2}{2}\right) = 200(1 + j)

Impedenze: Z˙L=jωL=j10\dot Z_L = j\omega L = j10,  Z˙R=10\ \dot Z_R = 10,  Z˙C=−jωC=−j1000⋅50⋅10−6=−j20\ \dot Z_C = -\frac{j}{\omega C} = -\frac{j}{1000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j20 (ohm).

Serie: Z˙=10+j10−j20=10−j10=10(1−j)\dot Z = 10 + j10 - j20 = 10 - j10 = 10(1 - j).

2. Corrente

Iˉe=EˉZ˙=200(1+j)10(1−j)=20 (1+j)2(1−j)(1+j)=20 2j2=j20=20 ejπ/2\bar I_e = \frac{\bar E}{\dot Z} = \frac{200(1 + j)}{10(1 - j)} = 20\, \frac{(1 + j)^2}{(1 - j)(1 + j)} = 20\, \frac{2j}{2} = j20 = 20\, e^{j\pi/2}

ie(t)=202cos⁡(1000t+π2)\boxed{i_e(t) = 20\sqrt2\cos\left(1000t + \tfrac{\pi}{2}\right)}

La corrente è in anticipo di π/4\pi/4 sulla tensione del generatore: il carico è ohmico-capacitivo (φ=−π/4\varphi = -\pi/4).

3. Tensioni sui bipoli (partitore)

Ogni tensione è Z˙kIˉe\dot Z_k \bar I_e; il valore efficace è ∣Z˙k∣ Ie|\dot Z_k|\, I_e con Ie=20 AI_e = 20\ \mathrm A:

VL=10⋅20=200 V,VR=10⋅20=200 V,VC=20⋅20=400 VV_L = 10 \cdot 20 = 200\ \mathrm V, \qquad V_R = 10 \cdot 20 = 200\ \mathrm V, \qquad \boxed{V_C = 20 \cdot 20 = 400\ \mathrm V}

4. Osservazione: la tensione sul condensatore supera quella del generatore

VC=400 VV_C = 400\ \mathrm V, mentre E=283 VE = 283\ \mathrm V. In una rete resistiva un partitore non può dare più della tensione totale; qui sì, perché VˉL=j10⋅j20=−200\bar V_L = j10 \cdot j20 = -200 e VˉC=−j20⋅j20=400\bar V_C = -j20 \cdot j20 = 400 hanno versi opposti e si compensano in parte, mentre VˉR=10⋅j20=j200\bar V_R = 10 \cdot j20 = j200. Controllo LKT: VˉL+VˉR+VˉC=−200+j200+400=200+j200=Eˉ\bar V_L + \bar V_R + \bar V_C = -200 + j200 + 400 = 200 + j200 = \bar E ✓.

Con i valori efficaci invece 200+200+400=800≠283200 + 200 + 400 = 800 \ne 283: le tensioni si sommano solo come fasori.

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