Esercizio 2.11 - resistenza interna con un GCPT

Testo (Eserciziario, es. 2.11). Rete in regime stazionario con $R_1 = 400\ \Omega$, $R_2 = 100\ \Omega$, $R_3 = 100\ \Omega$, un GIT $E = 15\ \mathrm V$ e un GCPT con $g = 40\ \mathrm{mS}$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B, nodo A in alto a sinistra.

Risultato: $R_i = 240\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

$E$ spento: il ramo sinistro diventa solo $R_1$ tra A e B. GIT di prova $V^*$ su AB, $V_B = 0$, $V_A = V^*$; incognita $V_M$.

LKC nel nodo M. Entrano la corrente di $R_2$ (da A) e quella del GCPT; esce quella di $R_3$:

$$\frac{V^* - V_M}{R_2} + g\,(V^* - V_M) = \frac{V_M}{R_3}$$

Perché il GCPT contiene V* - V_MLa sua corrente è g per la tensione di controllo V_R2, che ha il + in A e il - in M: V_R2 = V_A - V_M = V* - V_M.. Con i numeri ($1/R_2 = 0{,}01$, $g = 0{,}04$, $1/R_3 = 0{,}01$):

$$0{,}05\,(V^* - V_M) = 0{,}01\, V_M \quad\Longrightarrow\quad V_M = \frac{0{,}05}{0{,}06}\, V^* = \frac56\, V^*$$

LKC nel nodo A. La corrente di prova si divide tra $R_1$ e $R_2$:

$$I^* = \frac{V^*}{R_1} + \frac{V^* - V_M}{R_2} = \frac{V^*}{400} + \frac{V^*/6}{100} = V^* \left( \frac{1}{400} + \frac{1}{600} \right) = \frac{5\, V^*}{1200}$$

$$\boxed{R_i = \frac{1200}{5} = 240\ \Omega}$$

Interpretazione. Il ramo $R_2$–M, senza pilotato, sarebbe $R_2 + R_3 = 200\ \Omega$. Il GCPT "aiuta" a portare corrente in M e alza $V_M$, quindi su $R_2$ resta solo $\frac16 V^*$: il ramo sembra di $600\ \Omega$. In parallelo a $R_1 = 400\ \Omega$ dà $240\ \Omega$.