Esercizio 3.21 - Thévenin e wattmetro con lettura negativa

Testo (Eserciziario, es. 3.21). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$, $L = 20\ \mathrm{mH}$, $C = 100\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 200\sqrt2\cos\left(1000t - \frac{\pi}{2}\right)$, $j(t) = 10\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$.

1. Della rete a destra della porta AB determinare $\dot Z_{ABeq}$ e $\bar V_{AB0}$ ($+$ in A).
2. Nella rete completa determinare il valore $P_W$ letto dal wattmetro ideale a valore medio.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $R_1$ in serie a $C$ tra il nodo in alto a sinistra e B. Il wattmetro ha i morsetti amperometrici sul filo in alto, con la corrente che va da sinistra verso A ed entra nel morsetto $\oplus$; i voltmetrici tra il filo in alto ($\oplus$) e B. Nel riquadro: da A il GIT $e$ sul filo in alto ($+$ verso A) fino al nodo N; da N a B, in parallelo, $L$, il GIC $j$ (freccia in su) e $R_2$.

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 10 + j10\ \Omega$, $\bar V_{AB0} = -j100\ \mathrm V$, $P_W = -250\ \mathrm W$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 200\, e^{-j\pi/2} = -j200$; $\bar J$: ampiezza $10$, valore efficace $5\sqrt2$, $\ \bar J = 5\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 5 + j5$. $\dot Z_L = j20$, $\dot Z_C = -j10$.

2. Equivalente di Thévenin della parte destra

Impedenza (GIT in corto, GIC aperto): $L \parallel R_2$:

$$\dot Z_{ABeq} = \frac{j20 \cdot 20}{20 + j20} = \frac{j20}{1 + j} = j10(1 - j) = 10 + j10\ \Omega$$

Tensione a vuoto. Il GIC spinge $\bar J$ nel nodo N, che si richiude in $L \parallel R_2$: $\bar U_N = \bar J\,(10 + j10) = (5 + j5)(10 + j10) = 50(1 + j)^2 = j100$. Il GIT ha il $+$ verso A:

$$\bar V_{AB0} = \bar U_N + \bar E = j100 - j200 = -j100\ \mathrm V$$

3. Corrente nel carico

Il carico è $R_1 + \dot Z_C = 10 - j10$. Corrente che esce da A verso il carico:

$$\bar I_u = \frac{\bar V_{AB0}}{\dot Z_{ABeq} + R_1 + \dot Z_C} = \frac{-j100}{10 + j10 + 10 - j10} = \frac{-j100}{20} = -j5\ \mathrm A$$

Le reattanze si compensano: la maglia equivalente è puramente resistiva.

4. Lettura del wattmetro

La potenza attiva assorbita dal carico è quella di $R_1$: $P_u = R_1 I_u^2 = 10 \cdot 25 = 250\ \mathrm W$.

Il wattmetro però è inserito con la corrente che va da sinistra verso A, cioè dal carico verso la rete di destra: misura la potenza che entra nella rete di destra dal lato del carico, che è l'opposto:

$$\boxed{P_W = -250\ \mathrm W}$$

In formule: $P_W = \mathrm{Re}[\bar V_{AB}\, (-\bar I_u)^*]$ con $\bar V_{AB} = (10 - j10)(-j5) = -50 - j50$: $\ \mathrm{Re}[(-50 - j50)(-j5)] = \mathrm{Re}[-250 + j250] = -250\ \mathrm W$ ✓.

Morale. Un wattmetro può leggere un valore negativo: vuol dire che la potenza attiva scorre nel verso opposto a quello indicato dai suoi contrassegni.