Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)

Dispensa, capitolo 21 (paragrafi 21.1–21.9). Mette insieme Sinusoidi e fasoriUna rete è in regime sinusoidale se tutte le tensioni e correnti sono sinusoidi della stessa pulsazione ω. Una sinusoide a(t) = √2 A cos(ωt + φ) è individuata da due numeri, il valore efficace A = A_M/√2 e la fase φ, e quindi dal fasore Ā = A e^(jφ), un numero complesso. Si torna alla sinusoide con a(t) = Re[√2 Ā e^(jωt)]. Somme di sinusoidi diventano somme di fasori, la derivata diventa moltiplicazione per jω: le equazioni differenziali della rete diventano equazioni algebriche complesse (metodo simbolico).Sinusoidi e fasori →, Impedenza e ammettenzaIn regime sinusoidale, con i fasori e la convenzione dell'utilizzatore: resistore V̄ = R Ī (in fase), induttore V̄ = jωL Ī (tensione in anticipo di π/2), condensatore Ī = jωC V̄ (corrente in anticipo di π/2). In generale V̄ = Ż Ī: l'impedenza Ż = R + jX (resistenza e reattanza, in ohm) e l'ammettenza Ẏ = 1/Ż = G + jB (conduttanza e suscettanza, in siemens). X_L = ωL > 0, X_C = -1/(ωC) < 0. Un bipolo passivo ha Re(Ż) ≥ 0, cioè -π/2 ≤ φ ≤ π/2. Le leggi di Kirchhoff valgono sui fasori.Impedenza e ammettenza → e Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →, e riusa i metodi delle reti resistive.

Il metodo in quattro passi

1. Dalle sinusoidi ai fasori. Si portano tutte le grandezze impresse nella stessa forma (tutte in coseno o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori. Si controlla che la pulsazione $\omega$ sia la stessa per tutti.
2. Rete simbolica. Ogni resistore diventa $R$, ogni induttore $j\omega L$, ogni condensatore $-j/(\omega C)$; i generatori diventano i loro fasori; i pilotati restano con le stesse relazioni.
3. Soluzione. Si risolve la rete simbolica come una rete resistiva, con numeri complessi.
4. Dai fasori alle sinusoidi. $\bar X = X e^{j\varphi} \;\to\; x(t) = \sqrt2 X\cos(\omega t + \varphi)$ (o in seno, se si era scelto il seno). Spesso basta il valore efficace (per esempio la lettura di uno strumento).

Perché funziona: le LKC e le LKT valgono sui fasori, e le equazioni dei bipoli sono proporzionalità complesse $\bar V = \dot Z \bar I$. Il sistema è lo stesso di una rete resistiva con le resistenze sostituite da impedenze: tutte le proprietà che dipendevano solo dalla linearità valgono ancora.

Serie e parallelo

Le dimostrazioni sono identiche a quelle di Serie e parallelo di bipoliDue bipoli sono in serie se hanno un nodo in comune a cui non è collegato nient'altro: stessa corrente, le tensioni si sommano. Sono in parallelo se sono collegati alla stessa coppia di nodi: stessa tensione, le correnti si sommano. Resistori in serie: R_s = somma delle R; in parallelo: G_p = somma delle G (per due, R1R2/(R1+R2)). GIT in serie e GIC in parallelo si sommano algebricamente; GIC in serie a qualunque cosa resta un GIC, GIT in parallelo a qualunque cosa resta un GIT.Serie e parallelo di bipoli →:

$$\text{serie: } \dot Z_s = \sum_k \dot Z_k, \qquad \text{parallelo: } \dot Y_p = \sum_k \dot Y_k, \qquad \dot Z_1 \parallel \dot Z_2 = \frac{\dot Z_1 \dot Z_2}{\dot Z_1 + \dot Z_2}$$

Partitori (Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →):

$$\bar V_k = \bar V\, \frac{\dot Z_k}{\sum \dot Z}, \qquad \bar I_k = \bar I\, \frac{\dot Y_k}{\sum \dot Y} \quad \left(\text{due rami: } \bar I_1 = \bar I \frac{\dot Z_2}{\dot Z_1 + \dot Z_2}\right)$$

Differenza importante con le reti resistive. Con impedenze complesse un partitore può amplificare: la tensione su un elemento può essere maggiore di quella totale. Esempio: $R = 1\ \Omega$, $X_L = 10\ \Omega$, $X_C = -10\ \Omega$ in serie con $V = 1\ \mathrm V$: l'impedenza totale è $1\ \Omega$, la corrente $1\ \mathrm A$, e su induttore e condensatore ci sono $10\ \mathrm V$ ciascuno (vedi Risonanza serie e paralleloIn un RLC serie l'impedenza Ż = R + j(ωL - 1/ωC) ha modulo minimo, pari a R, alla pulsazione di risonanza ω0 = 1/√(LC), dove le reattanze di L e C si annullano: la serie LC equivale a un cortocircuito e su L e C compaiono tensioni Q volte quella applicata (Q = ω0 L / R). Nel parallelo RLC l'ammettenza è minima (G) a ω0: il parallelo LC equivale a un circuito aperto e le correnti in L e C sono Q volte quella totale (Q = ω0 R C). Usati come filtri passa banda: banda B = ω2 - ω1 = ω0 / Q.Risonanza serie e parallelo →).

Impedenza equivalente di una rete passiva

Una rete di resistori, induttori e condensatori vista da due morsetti A e B si comporta come un unico bipolo passivo con $\bar V = \dot Z_{eq} \bar I$. Si calcola con serie e parallelo, oppure, se servisse, con un generatore di prova (applicando $\bar V^*$ e calcolando $\bar I^*$). Conviene lavorare con le impedenze per le serie e con le ammettenze per i paralleli con più di due rami.

Sintesi serie e sintesi parallelo

Ogni impedenza $\dot Z = R + jX$ a una pulsazione $\omega$ fissata si può realizzare con due soli bipoli:

• sintesi serie: un resistore $R_s = R$ in serie a un induttore $L_s = X/\omega$ (se $X > 0$) o a un condensatore $C_s = -\frac{1}{\omega X}$ (se $X < 0$);
• sintesi parallelo: con $\dot Y = 1/\dot Z = G + jB$, un resistore $R_p = 1/G$ in parallelo a un condensatore $C_p = B/\omega$ (se $B > 0$) o a un induttore $L_p = -\frac{1}{\omega B}$ (se $B < 0$).

Attenzione: l'equivalenza vale solo a quella pulsazione, perché le reattanze dipendono da $\omega$.

Esempio: $\dot Z = 15 - j25\ \Omega$ a $\omega = 1000\ \mathrm{rad/s}$. Serie: $R_s = 15\ \Omega$ e $C_s = \frac{1}{1000 \cdot 25} = 40\ \mu\mathrm F$. Parallelo: $\dot Y = \frac{15 + j25}{15^2 + 25^2} = \frac{15 + j25}{850}$, quindi $R_p = 850/15 = 56{,}7\ \Omega$ e $C_p = \frac{25/850}{1000} = 29{,}4\ \mu\mathrm F$.

Metodi di analisi

Tutti i metodi delle reti resistive si applicano alla rete simbolica:

• SovrapposizioneIn una rete lineare (resistori, GIT, GIC) ogni tensione e ogni corrente è combinazione lineare delle impresse dei generatori. Quindi si può calcolarla facendo agire un generatore alla volta, con gli altri spenti (GIT spento = cortocircuito, GIC spento = circuito aperto), e sommando i contributi. Vale per tensioni e correnti, non per le potenze.Principio di sovrapposizione degli effetti →: con più generatori della stessa pulsazione si sommano i fasori dei singoli contributi. Se i generatori hanno pulsazioni diverse (o alcuni sono costanti), la sovrapposizione si fa nel tempo: si risolve una rete simbolica per ogni pulsazione (con le reattanze calcolate a quella pulsazione; in continua C aperto e L in corto) e si sommano le sinusoidi, non i fasori.
• Correnti di anelloPer reti piane: si associa a ogni anello (finestra del disegno) una corrente fittizia che lo percorre tutto, tutte nello stesso verso. Le correnti di lato sono somme algebriche delle correnti di anello, quindi le LKC sono automatiche; si scrivono le ℓ−n+1 LKT sugli anelli, per ispezione: autoresistenza × corrente dell'anello − Σ mutue resistenze × correnti degli anelli vicini = somma delle f.e.m. dei GIT percorsi dal − al +. Ogni GIC senza resistore in parallelo aggiunge come incognita la sua tensione e come equazione il legame tra la sua corrente e le correnti di anello (metodo modificato).Metodo delle correnti di anello →: $[\dot Z][\bar I] = [\bar E]$, con autoimpedenze sulla diagonale e mutue impedenze cambiate di segno fuori diagonale.
• Potenziali ai nodiSi sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →: $[\dot Y][\bar U] = [\bar J]$, con autoammettenze e mutue ammettenze.
• Teorema di sostituzioneSe in una rete con soluzione unica si conosce la corrente i_h (o la tensione v_h) di un bipolo, lo si può sostituire con un GIC di corrente i_h (o con un GIT di tensione v_h), con lo stesso riferimento, senza cambiare le altre tensioni e correnti, purché anche la rete modificata abbia soluzione unica. Utile per semplificare: un ramo con corrente nota diventa un GIC, un resistore con corrente nulla diventa un circuito aperto.Teorema di sostituzione →, Thévenin e NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →: una rete lineare vista da due morsetti equivale a un GIT $\bar E_{eq} = \bar V_0$ (tensione a vuoto) in serie a $\dot Z_{eq}$, oppure a un GIC $\bar J_{eq} = \bar I_{cc}$ in parallelo a $\dot Y_{eq} = 1/\dot Z_{eq}$, con $\dot Z_{eq}$ calcolata a generatori indipendenti spenti e $\bar V_0 = \dot Z_{eq} \bar I_{cc}$. Casi particolari come in continua: una rete fatta solo da un GIC non ha Thévenin, una fatta solo da un GIT non ha Norton.

Conservazione delle potenze

Per il teorema di Boucherot (vedi Potenza in regime sinusoidaleCon v e i sinusoidali la potenza istantanea p(t) = VI cos φ + VI cos(2ωt + φv + φi) oscilla a pulsazione 2ω. La sua media è la potenza attiva P = VI cos φ (watt). La potenza complessa Ṡ = V̄ Ī* = P + jQ ha per parte immaginaria la potenza reattiva Q = VI sin φ (VAR) e per modulo la potenza apparente S = VI (VA). cos φ = P/S è il fattore di potenza. Con un'impedenza: P = R I², Q = X I²; Q_L = ωL I² > 0, Q_C = -ωC V² < 0. In una rete si conservano la potenza complessa, attiva e reattiva (teorema di Boucherot).Potenza in regime sinusoidale →) la somma delle potenze complesse entranti in tutti i bipoli è nulla. È il controllo finale più utile negli esercizi:

$$\sum P_{\text{generatori, erogate}} = \sum R_k I_k^2, \qquad \sum Q_{\text{generatori, erogate}} = \sum X_k I_k^2$$

Procedura per gli esercizi d'esame

Gli esercizi tipici chiedono: l'impedenza equivalente di una parte di rete, il fasore della tensione a vuoto (Thévenin), e poi una grandezza nella rete completa (lettura di un voltmetro o amperometro a valore efficace, potenza di un generatore).

1. Calcolare tutte le impedenze ($j\omega L$, $-j/\omega C$) e i fasori dei generatori, nella stessa forma (seno o coseno) del testo.
2. Ridurre con serie, parallelo, partitori e trasformazioni GIT–Z $\leftrightarrow$ GIC–Y.
3. Fare i conti in forma cartesiana per somme e differenze, in forma polare per prodotti e quozienti; razionalizzare moltiplicando per il coniugato del denominatore.
4. Riportare il risultato come fasore e, se richiesto, come sinusoide o valore efficace.
5. Verificare con un bilancio di potenze o con una LKC/LKT su un nodo o una maglia.

Errori comuni

• Sommare fasori di pulsazioni diverse.
• Dimenticare di razionalizzare e lasciare $j$ al denominatore (corretto ma scomodo per il confronto).
• Confondere il modulo con la parte reale quando si legge uno strumento: si legge il modulo del fasore.
• Usare la sintesi serie o parallelo a una pulsazione diversa da quella per cui è stata calcolata.

Esercizi: Esercizio 3.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni con i fasori, Esercizio 3.7 - legge di Kirchhoff delle correnti con i fasori, Esercizio 3.8 - partitore di tensione con impedenze, Esercizio 3.9 - partitore di corrente con impedenze, Esercizio 3.13 - sovrapposizione in regime sinusoidale, Esercizio 3.14 - sovrapposizione con un condensatore in serie al GIC, Esercizio 3.15 - correnti di anello in regime sinusoidale, Esercizio 3.16 - correnti di anello con un condensatore in serie al GIC, Esercizio 3.17 - potenziali ai nodi in regime sinusoidale, Esercizio 3.18 - potenziali ai nodi con un condensatore in serie al GIC, Esercizio 3.19 - Thévenin e wattmetro in regime sinusoidale, Esercizio 3.20 - Thévenin e voltmetro in regime sinusoidale, Esercizio 3.21 - Thévenin e wattmetro con lettura negativa, Esercizio 3.22 - Norton e potenza reattiva del condensatore, Esercizio 3.23 - Norton e potenza attiva del resistore, Esercizio 3.24 - Thévenin e Norton di una rete a T, Esercizio 3.25 - Thévenin e Norton con un GIT e un GIC.