Esercizio 3.14 - sovrapposizione con un condensatore in serie al GIC

Testo (Eserciziario, es. 3.14). Rete a regime sinusoidale con $R = 10\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 50\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 50\sqrt2\cos\left(2000t + \frac{\pi}{2}\right)$, $j(t) = 4\cos\left(2000t - \frac{\pi}{4}\right)$. Calcolare la potenza reattiva $Q_L$ entrante nell'induttore, con la sovrapposizione degli effetti.

Figura (descritta). Filo in basso = riferimento. Nodi in alto: P (a sinistra) e M (al centro).

Risultato: $Q_L = 52\ \mathrm{VAR}$.

La stessa rete è risolta con le correnti di anello e con i potenziali ai nodi. Teoria: Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

• $\bar E = 50\, e^{j\pi/2} = j50$.
• $\bar J$: ampiezza $4$, valore efficace $2\sqrt2$: $\ \bar J = 2\sqrt2\, e^{-j\pi/4} = 2 - j2$.
• $\dot Z_L = j20$, $\ \dot Z_C = -\frac{j}{2000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = -j10$, $\ R = 10$.

Osservazione chiave. Il nodo P è toccato solo dal GIC e da $C$: il condensatore è in serie al GIC e porta sempre la corrente $\bar J$. Come in continua, un bipolo in serie a un generatore di corrente non influenza il resto della rete: $C$ non entra nel calcolo di $Q_L$ (conterebbe solo per la tensione ai capi del GIC). Dal nodo M, il GIC "preleva" la corrente $\bar J$.

Serve il fasore $\bar I_L$ (verso il basso in $L$), poi $Q_L = X_L I_L^2$.

2. Agisce solo $\bar J$ ($\bar E$ cortocircuitato)

Da M esce $\bar J$ verso P; deve arrivare dal basso attraverso $L$ e $R$, in parallelo:

$$\dot Z_p = \frac{j20 \cdot 10}{10 + j20} = \frac{j20}{1 + 2j} = \frac{j20(1 - 2j)}{5} = 8 + j4, \qquad \bar U_M' = -\bar J\, \dot Z_p = -(2 - 2j)(8 + j4) = -24 + j8$$

$$\bar I_L' = \frac{\bar U_M'}{j20} = \frac{(-24 + j8)(-j)}{20} = \frac{8 + j24}{20} = 0{,}4 + j1{,}2$$

3. Agisce solo $\bar E$ ($\bar J$ aperto)

Senza GIC, in $C$ non passa corrente. Resta la maglia $L$ – $R$ – GIT. Il GIT ha il $+$ in basso, quindi il nodo tra $R$ e il GIT è a potenziale $-\bar E$. Partitore tra $R$ e $L$:

$$\bar U_M'' = -\bar E\, \frac{j20}{10 + j20} = -j50 \cdot \frac{j20}{10 + j20} = \frac{1000}{10 + j20} = \frac{100(1 - 2j)}{5} = 20 - j40$$

$$\bar I_L'' = \frac{20 - j40}{j20} = \frac{(20 - j40)(-j)}{20} = \frac{-40 - j20}{20} = -2 - j$$

4. Somma

$$\bar I_L = 0{,}4 + j1{,}2 - 2 - j = -1{,}6 + j0{,}2, \qquad I_L^2 = 2{,}56 + 0{,}04 = 2{,}6\ \mathrm{A^2}$$

$$\boxed{Q_L = X_L\, I_L^2 = 20 \cdot 2{,}6 = 52\ \mathrm{VAR}}$$