Esercizio 2.15 - resistenza interna con un GCPC tra due nodi

Testo (Eserciziario, es. 2.15). Rete in regime stazionario con $R_1 = 50\ \Omega$, $R_2 = 10\ \Omega$, $R_3 = 100\ \Omega$, un GIC $J = 100\ \mathrm{mA}$ e un generatore di corrente pilotato in corrente con $\beta = 4$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Nodi: L (a sinistra) e A (al centro-destra).

Risultato: $R_i = 50\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →.

Generatore di prova

$J$ spento (aperto). GIT di prova $V_A = V^*$, $V_B = 0$; incognita $V_L$, e $I_{R1} = V_L / R_1$.

LKC nel nodo L. Entra la corrente da A attraverso $R_2$; escono quella in $R_1$ e quella del GCPC (che va da L ad A):

$$\frac{V^* - V_L}{R_2} = I_{R1} + \beta I_{R1} = (1+\beta) \frac{V_L}{R_1}$$

$$\frac{V^* - V_L}{10} = \frac{5\, V_L}{50} = \frac{V_L}{10} \quad\Longrightarrow\quad V_L = \frac{V^*}{2}, \qquad I_{R1} = \frac{V^*}{100}$$

LKC nel nodo A. Entrano $I^*$ e la corrente del GCPC $\beta I_{R1}$; escono quella in $R_3$ e quella in $R_2$ verso L:

$$I^* = \frac{V^*}{R_3} + \frac{V^* - V_L}{R_2} - \beta I_{R1} = \frac{V^*}{100} + \frac{V^*}{20} - \frac{4\, V^*}{100} = V^*(0{,}01 + 0{,}05 - 0{,}04) = 0{,}02\, V^*$$

$$\boxed{R_i = 50\ \Omega}$$

Interpretazione. Il ramo L ha una "fuga" verso B attraverso $R_1$, ma il GCPC rimanda in A 4 volte la corrente di $R_1$. Della corrente che entra nel ramo da A ($V^*/20$) ne torna in A l'$80\%$ ($4 V^*/100$): al netto il ramo assorbe solo $V^*/100$, cioè sembra un resistore da $100\ \Omega$. In parallelo a $R_3 = 100\ \Omega$ dà $50\ \Omega$.