Domanda d'esame - transitorio di scarica di un circuito RL

Testo (domanda di teoria, sul modello delle precedenti). Transitorio di scarica di un circuito R-L: schema e riferimenti, analisi per $t < 0$ e $t = 0$, equazione differenziale per $t > 0$, soluzione e grafici di corrente e tensione dell'induttore.

Teoria: Circuiti del primo ordine (RC e RL)Una rete con un solo condensatore o un solo induttore è del primo ordine: la variabile di stato x(t) soddisfa dx/dt + x/T = b(t). Con generatori costanti la soluzione è x(t) = x∞ + [x(0) - x∞] e^(-t/T): valore finale (regime stazionario per t > 0) più un transitorio esponenziale. La costante di tempo è T = R C per il condensatore e T = L / R per l'induttore, dove R è la resistenza di Thévenin vista dal componente dinamico. Dopo 4-5 costanti di tempo il transitorio è esaurito. Carica RC: vC = E(1 - e^(-t/RC)); scarica: vC = V0 e^(-t/RC); duali per RL.Circuiti del primo ordine (RC e RL) →, InduttoreL'induttore ideale ha flusso concatenato φ = L i e quindi, in convenzione dell'utilizzatore, v = L di/dt (L in henry). È il duale del condensatore: ha memoria, i(t) = i(t0) + (1/L) ∫ v dt; con tensione limitata la corrente è continua; immagazzina l'energia W_L = ½ L i² (variabile di stato: la corrente). In regime stazionario è un cortocircuito. Serie: L_s = Σ L_k; parallelo: 1/L_p = Σ 1/L_k (come i resistori).Induttore →.

1. Schema e riferimenti

Un induttore $L$ e un resistore $R$ formano una maglia; in parallelo a $R$ c'è un interruttore S, chiuso per $t < 0$ e che si apre in $t = 0$. Riferimenti: $i_L$ che percorre la maglia, $v_L$ e $v_R$ con la convenzione dell'utilizzatore.

2. Analisi per $t < 0$ e $t = 0$

Per $t < 0$ S cortocircuita $R$: l'induttore è percorso da una corrente $I_0$ che circola nella maglia induttore–interruttore (per esempio stabilita in precedenza da un generatore). A corrente costante $v_L = 0$, coerente con il cortocircuito. Quindi $i_L(0^-) = I_0$.

In $t = 0$ S si apre e la corrente non ha altra strada che $R$. Per la continuità: $i_L(0^+) = I_0$. La tensione salta: $v_R(0^+) = R I_0$ e $v_L(0^+) = -R I_0$.

3. Equazione per $t > 0$

$$\begin{cases} v_L + v_R = 0 \\ v_R = R\, i_L \\ v_L = L\, \dfrac{di_L}{dt} \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad L\, \frac{di_L}{dt} + R\, i_L = 0, \qquad i_L(0) = I_0$$

4. Soluzione

$$\boxed{i_L(t) = I_0\, e^{-t/T}, \qquad v_L(t) = L\, \frac{di_L}{dt} = -R\, I_0\, e^{-t/T}, \qquad T = \frac{L}{R}}$$

Commento. La tensione dell'induttore è negativa: con la convenzione dell'utilizzatore vuol dire che eroga potenza, restituendo al resistore l'energia magnetica $\frac12 L I_0^2$. Il picco di tensione $R I_0$ cresce con $R$: aprendo un circuito induttivo su una resistenza molto grande (al limite l'aria tra i contatti dell'interruttore) la sovratensione diventa enorme.

5. Esempio numerico

$I_0 = 2\ \mathrm A$, $R = 100\ \Omega$, $L = 0{,}5\ \mathrm H$.

• $T = L/R = 5\ \mathrm{ms}$.
• $v_L(0^+) = -R I_0 = -200\ \mathrm V$: una sovratensione di $200\ \mathrm V$ partendo da un circuito in cui la tensione era zero.
• Dopo $T$: $i_L = 2\, e^{-1} = 0{,}74\ \mathrm A$.
• Energia dissipata in $R$: $\frac12 L I_0^2 = \frac12 \cdot 0{,}5 \cdot 4 = 1\ \mathrm J$.