Esercizio 3.17 - potenziali ai nodi in regime sinusoidale

Testo (Eserciziario, es. 3.17). Stessa rete dell'Esercizio 3.13 - sovrapposizione in regime sinusoidale ($R = 50\ \Omega$, $L = 200\ \mathrm{mH}$, $C = 40\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 200\cos(500t + \frac34\pi)$, $j(t) = 4\sqrt2\cos(500t)$): calcolare $Q_C$ con il metodo dei potenziali ai nodi.

Figura (descritta). Tre rami tra il nodo T in alto e il filo in basso: a sinistra il GIC (freccia in giù), al centro $R$ in serie a $C$, a destra $L$ in serie al GIT ($+$ in alto).

Risultato: $Q_C = -1000\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Una sola incognita

Con il filo in basso come riferimento resta un solo nodo, T, con potenziale $\bar U$. (Il nodo tra $L$ e il GIT ha potenziale noto, $\bar E$, quindi non serve come incognita.)

Dati: $\bar E = -100 + j100$, $\bar J = 4$; ammettenze $\dot Y_{RC} = \frac{1}{50 - j50} = \frac{1 + j}{100}$, $\ \dot Y_L = \frac{1}{j100} = -\frac{j}{100}$.

2. LKC nel nodo T

Correnti uscenti da T: il GIC ($\bar J$, verso il basso), il ramo centrale ($\dot Y_{RC}\, \bar U$), il ramo destro ($\dot Y_L(\bar U - \bar E)$, perché $L$ ha ai capi $\bar U$ da una parte ed $\bar E$ dall'altra):

$$\bar J + \dot Y_{RC}\, \bar U + \dot Y_L(\bar U - \bar E) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (\dot Y_{RC} + \dot Y_L)\, \bar U = -\bar J + \dot Y_L\, \bar E$$

• $\dot Y_{RC} + \dot Y_L = \frac{1 + j - j}{100} = 0{,}01\ \mathrm S$ (le suscettanze si annullano);
• $\dot Y_L \bar E = -\frac{j}{100}(-100 + j100) = \frac{j100 + 100}{100} = 1 + j$.

$$0{,}01\, \bar U = -4 + 1 + j = -3 + j \quad\Longrightarrow\quad \bar U = -300 + j100\ \mathrm V$$

3. Corrente e potenza del condensatore

$$\bar I_C = \dot Y_{RC}\, \bar U = \frac{(1 + j)(-300 + j100)}{100} = \frac{-300 + j100 - j300 - 100}{100} = -4 - j2$$

$$\boxed{Q_C = X_C\, I_C^2 = -50 \cdot 20 = -1000\ \mathrm{VAR}}$$

Confronto tra i tre metodi (esercizi 3.13, 3.15, 3.17): qui il metodo dei nodi è il più rapido, perché la rete ha due soli nodi e quindi una sola equazione.

Bilancio delle potenze (Boucherot). $P_R = 50 \cdot 20 = 1000\ \mathrm W$; $Q_L = 100 \cdot |j2|^2 = 400\ \mathrm{VAR}$; $Q_C = -1000\ \mathrm{VAR}$. I generatori devono erogare in tutto $\dot S = 1000 - j600$. GIC (convenzione del generatore: tensione $\bar U$ con il $+$ in alto, corrente $\bar J$ uscente dal basso, cioè $-\bar J$ uscente dal $+$): $\dot S_J = \bar U(-\bar J)^* = 1200 - j400$. GIT: corrente uscente dal $+$ verso $L$ uguale a $-\bar I_L = -j2$, $\ \dot S_E = \bar E(-j2)^* = (-100 + j100)(j2) = -200 - j200$. Somma $1000 - j600$ ✓.