Esercizio 2.5 - resistenza interna con un GTPT

Testo (Eserciziario, es. 2.5). Rete in regime stazionario con $R_1 = 2\ \mathrm{k\Omega}$, $R_2 = 1\ \mathrm{k\Omega}$, un GIT $E = 15\ \mathrm V$ e un GTPT con $\alpha = 2$. Determinare la resistenza interna $R_i$ ai morsetti AB.

Figura (descritta). Quattro nodi agli angoli: in alto a sinistra P, in alto a destra A, in basso a destra B, in basso a sinistra Q.

Risultato: $R_i = 400\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →, Generatori pilotati e trasformatore idealeUn generatore pilotato impone una tensione o una corrente (lato 2) proporzionale a una tensione o corrente di un altro lato della rete (lato 1, che è un circuito aperto se pilota una tensione, un cortocircuito se pilota una corrente). Quattro tipi: GTPT (v2 = α v1), GTPC (v2 = r i1), GCPT (i2 = g v1), GCPC (i2 = β i1). Il trasformatore ideale ha v1 = n v2 e i1 = -i2/n: assorbe potenza nulla, può amplificare tensioni o correnti e vista dalla porta 1 trasforma una resistenza R2 in n² R2.Generatori pilotati e trasformatore ideale →.

1. Metodo del generatore di prova

Spegnere solo il generatore indipendente. $E$ diventa un cortocircuito, quindi Q e B sono lo stesso nodo. Il GTPT resta: la sua tensione dipende da $V_{R2}$, che non è un dato.

Applicare la prova. Si collega ad AB un GIT di prova $V^*$ ($+$ su A) e si cerca la corrente $I^*$ che entra in A. Si prende B come riferimento: $V_B = 0$, $V_A = V^*$.

Grandezza di controllo. $V_{R2} = V_B - V_A = -V^*$ (attenzione al verso: il $+$ è in basso).

Potenziale di P. Dal GTPT: $V_P = V_A - \alpha V_{R2} = V^* - \alpha(-V^*) = (1 + \alpha)\, V^* = 3 V^*$.

Correnti. Da A partono due correnti verso B:

• in $R_2$: $V^*/R_2$;
• attraverso il GTPT fino a P e poi giù per $R_1$ (fino a Q, che ora coincide con B): $V_P / R_1 = (1 + \alpha) V^* / R_1$. Il GTPT è in serie a $R_1$, quindi porta la stessa corrente.

$$I^* = \frac{V^*}{R_2} + \frac{(1+\alpha) V^*}{R_1} = V^* \left( \frac{1}{1000} + \frac{3}{2000} \right) = V^* \cdot 2{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm S$$

$$\boxed{R_i = \frac{V^*}{I^*} = \frac{1}{2{,}5 \cdot 10^{-3}} = 400\ \Omega}$$

Interpretazione. Senza pilotato si avrebbe $R_1 \parallel R_2 = 667\ \Omega$. Il GTPT "moltiplica" la tensione su $R_1$ per $(1+\alpha) = 3$, quindi $R_1$ porta 3 volte più corrente: dalla porta sembra un resistore da $R_1 / 3 = 667\ \Omega$, e $667 \parallel 1000 = 400\ \Omega$.

2. Verifica con tensione a vuoto e corrente di cortocircuito

Ora $E$ è acceso.

A vuoto (nessuna corrente in A): c'è una sola maglia Q → $R_1$ → P → GTPT → A → $R_2$ → B → $E$ → Q, percorsa da una corrente $I$. Con $V_B = 0$: $V_Q = 15\ \mathrm V$, $V_{R2} = -V_A$, $V_P = V_A + \alpha V_A = 3 V_A$. La corrente in $R_1$ (da Q a P) è uguale a quella in $R_2$ (da A a B):

$$\frac{15 - 3 V_A}{2000} = \frac{V_A}{1000} \quad\Longrightarrow\quad 15 - 3V_A = 2 V_A \quad\Longrightarrow\quad V_{AB0} = 3\ \mathrm V$$

In cortocircuito (A collegato a B): $V_{R2} = 0$, quindi il GTPT impone tensione nulla e $V_P = V_A = 0$. Su $R_1$ c'è tutta la $E$: la corrente $15/2000 = 7{,}5\ \mathrm{mA}$ sale in $R_1$, attraversa il GTPT ed esce da A nel cortocircuito ($R_2$ ha tensione nulla e non porta corrente).

$$I_{cc} = 7{,}5\ \mathrm{mA}, \qquad R_i = \frac{V_{AB0}}{I_{cc}} = \frac{3}{7{,}5 \cdot 10^{-3}} = 400\ \Omega \quad ✓$$

$V_{AB0}$ e $I_{cc}$ sono presi con la convenzione del generatore (la corrente di cortocircuito esce da A, dove c'è il $+$ di $V_{AB0}$), come richiesto dalla formula $R_i = v_0 / i_{cc}$.