Esercizio 2.3 - matrici G e T di un resistore in serie

Testo (Eserciziario, es. 2.3). Doppio bipolo con $R_a = 20\ \Omega$, convenzione degli utilizzatori a entrambe le porte.

1. Calcolare la matrice $[G]$.
2. Calcolare la matrice $[T]$ (trasmissione 1).

Figura (descritta). $R_a$ sul filo superiore tra 1 e 2; il filo inferiore collega direttamente 1' e 2'. Nient'altro.

Risultati: $[G] = \begin{bmatrix} \frac{1}{20} & -\frac{1}{20} \\ -\frac{1}{20} & \frac{1}{20} \end{bmatrix} \mathrm S$, $\quad [T] = \begin{bmatrix} 1 & 20\ \Omega \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Teoria: Doppi bipoli e loro rappresentazioniUn doppio bipolo ha due porte e quattro grandezze (v1, i1, v2, i2) legate da due equazioni. Se è lineare e senza generatori interni (ideale inerte) le equazioni sono lineari omogenee: scegliendo quali due grandezze sono indipendenti si hanno sei rappresentazioni (matrici R, G, h, g, T, T'). Ogni parametro si calcola mettendo una porta a vuoto (corrente nulla) o in cortocircuito (tensione nulla). Reciproco: R12 = R21 (oppure det T = 1); simmetrico: anche R11 = R22. Serie di doppi bipoli: si sommano le R; parallelo: si sommano le G; cascata: si moltiplicano le T. Un doppio bipolo resistivo si sintetizza con tre resistori a T o a Π.Doppi bipoli e loro rappresentazioni →.

1. Matrice $[G]$

In $R_a$ c'è la tensione $v_1 - v_2$ (dal morsetto 1 al morsetto 2) e la corrente $i_1$, che poi esce tutta da 2: $i_2 = -i_1$ sempre. Con $G_a = 1/20\ \mathrm S$:

$$i_1 = G_a (v_1 - v_2), \qquad i_2 = -G_a (v_1 - v_2)$$

• Porta 2 in cortocircuito ($v_2 = 0$): $i_1 = G_a v_1$, $i_2 = -G_a v_1$, quindi $G_{11} = \frac{1}{20}\ \mathrm S$, $G_{21} = -\frac{1}{20}\ \mathrm S$.
• Porta 1 in cortocircuito ($v_1 = 0$): $i_1 = -G_a v_2$, $i_2 = G_a v_2$, quindi $G_{12} = -\frac{1}{20}\ \mathrm S$, $G_{22} = \frac{1}{20}\ \mathrm S$.

Non esiste $[R]$: $\det [G] = \frac{1}{400} - \frac{1}{400} = 0$. Il motivo: $i_2 = -i_1$, le due correnti non si possono fissare indipendentemente. Con la porta 2 aperta ($i_2 = 0$) anche $i_1 = 0$, e $R_{11} = v_1/i_1$ non si può calcolare.

2. Matrice $[T]$

Porta 2 aperta ($i_2 = 0$): anche $i_1 = 0$, $R_a$ non ha tensione e $v_1 = v_2$.

$$A = \left.\frac{v_1}{v_2}\right|_{i_2=0} = 1, \qquad C = \left.\frac{i_1}{v_2}\right|_{i_2=0} = \frac{0}{v_2} = 0\ \mathrm S$$

Porta 2 in cortocircuito ($v_2 = 0$): $v_1 = R_a i_1$ e $i_1 = -i_2$.

$$B = \left.\frac{v_1}{-i_2}\right|_{v_2=0} = \frac{R_a i_1}{i_1} = R_a = 20\ \Omega, \qquad D = \left.\frac{i_1}{-i_2}\right|_{v_2=0} = 1$$

3. Osservazioni

• $AD - BC = 1$ e $A = D$: reciproco e simmetrico. Anche da $[G]$: $G_{11} = G_{22}$, $G_{12} = G_{21}$.
• $\begin{bmatrix} 1 & R \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ è la matrice "standard" di un resistore in serie: con l'Esercizio 2.2 - matrici R e T di un resistore in parallelo dà la rete a L dell'Esercizio 2.4 - matrice T di una rete a L.
• Questo esercizio e il precedente sono duali: lì mancava $[G]$, qui manca $[R]$.