Esercizio 3.18 - potenziali ai nodi con un condensatore in serie al GIC

Testo (Eserciziario, es. 3.18). Stessa rete dell'Esercizio 3.14 - sovrapposizione con un condensatore in serie al GIC ($R = 10\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C = 50\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 50\sqrt2\cos(2000t + \frac{\pi}{2})$, $j(t) = 4\cos(2000t - \frac{\pi}{4})$): calcolare $Q_L$ con i potenziali ai nodi.

Figura (descritta). A sinistra il GIC (freccia in giù, dal nodo P al riferimento); $C$ tra P e M sul filo in alto; $L$ tra M e il riferimento; $R$ e il GIT ($-$ in alto, $+$ in basso) in serie tra M e il riferimento.

Risultato: $Q_L = 52\ \mathrm{VAR}$.

Teoria: Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi)Si sceglie un nodo di riferimento (potenziale zero) e si prendono come incognite gli n−1 potenziali degli altri nodi; ogni tensione è una differenza di potenziali, quindi le LKT sono automatiche. Si scrive la LKC su ogni nodo non di riferimento, per ispezione: autoconduttanza × potenziale del nodo − Σ mutue conduttanze × potenziali vicini = somma delle correnti dei GIC entranti. Ogni GIT senza resistore in serie aggiunge un'incognita (la sua corrente) e un'equazione (u_+ − u_− = e): è l'analisi nodale modificata (MNA).Analisi nodale (metodo dei potenziali ai nodi) →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Ramo GIT–R trasformato

Il ramo destro (GIT con il $+$ verso il riferimento, in serie a $R$) equivale a un GIC $\bar E / R$ in parallelo a $R$, con la freccia verso il $+$ del GIT, cioè verso il riferimento (la corrente esce da M): $\bar E / R = j5$ uscente da M.

2. Equazioni

Nodi P e M, riferimento in basso.

• Nodo P: escono $\bar J$ (GIC verso il basso) e la corrente in $C$ verso M: $\ \bar J + \dot Y_C(\bar U_P - \bar U_M) = 0$. Quindi in $C$, da M verso P, passa esattamente $\bar J$.
• Nodo M: escono la corrente verso P ($\bar J$, appena trovata), quella in $L$, quella in $R$ e il GIC equivalente:

$$\bar J + \dot Y_L\, \bar U_M + G\, \bar U_M + \frac{\bar E}{R} = 0$$

Si vede di nuovo che $\dot Y_C$ sparisce dall'equazione di M: il condensatore in serie al GIC non conta.

3. Soluzione

$\dot Y_L + G = -j0{,}05 + 0{,}1$; termine noto $-\bar J - \frac{\bar E}{R} = -(2 - j2) - j5 = -2 - j3$:

$$\bar U_M = \frac{-2 - j3}{0{,}1 - j0{,}05} = \frac{(-2 - j3)(0{,}1 + j0{,}05)}{0{,}0125} = \frac{-0{,}05 - j0{,}4}{0{,}0125} = -4 - j32\ \mathrm V$$

Il prodotto al numeratore(-2)(0,1) = -0,2; (-2)(j0,05) = -j0,1; (-j3)(0,1) = -j0,3; (-j3)(j0,05) = +0,15. Totale -0,05 - j0,4..

$$\bar I_L = \frac{\bar U_M}{j20} = \frac{(-4 - j32)(-j)}{20} = \frac{-32 + j4}{20} = -1{,}6 + j0{,}2$$

$$\boxed{Q_L = X_L\, I_L^2 = 20 \cdot 2{,}6 = 52\ \mathrm{VAR}}$$

Controllo con la tensione su $L$: $Q_L = \frac{U_M^2}{X_L} = \frac{16 + 1024}{20} = 52\ \mathrm{VAR}$ ✓.