Esercizio 3.28 - Thévenin e voltmetro su un carico RL

Testo (Eserciziario, es. 3.28). Rete a regime sinusoidale con $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$, $L = 10\ \mathrm{mH}$, $C_1 = 100\ \mu\mathrm F$, $C_2 = 50\ \mu\mathrm F$, $e(t) = 160\sqrt2\cos\left(1000t + \frac{\pi}{2}\right)$, $j(t) = 6\cos\left(1000t + \frac{\pi}{4}\right)$.

1. Della rete a destra della porta AB determinare $\dot Z_{ABeq}$ e $\bar V_{AB0}$ ($+$ in A).
2. Nella rete completa determinare il valore $V_V$ letto dal voltmetro ideale a valore efficace.

Figura (descritta). A sinistra della porta: $L$ in serie a $R_1$ tra A e B, con il voltmetro in parallelo. Nel riquadro: da A scende il GIC $j$ (freccia in giù) fino a B; da A, sul filo in alto, $C_1$ fino al nodo N; da N scendono il ramo $C_2$ in serie al GIT $e$ ($+$ in alto) e, più a destra, $R_2$.

Risultati: $\dot Z_{ABeq} = 10 - j20\ \Omega$, $\bar V_{AB0} = -170 + j110\ \mathrm V$, $V_V = 20\sqrt{41}\ \mathrm V \approx 128\ \mathrm V$.

Teoria: Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →, Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico)Metodo simbolico: (1) si scrivono tutte le sinusoidi in coseno (o tutte in seno) e se ne calcolano i fasori; (2) ogni bipolo passivo diventa un'impedenza (R, jωL, -j/ωC); (3) si risolve la rete simbolica con i metodi delle reti resistive (serie e parallelo, partitori, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton), facendo i conti con i numeri complessi; (4) si torna alle sinusoidi. Serie: Ż = ΣŻk; parallelo: Ẏ = ΣẎk. Ogni impedenza equivale a una sintesi serie (R + L o R + C) o parallelo. Si conservano le potenze complessa, attiva e reattiva.Reti in regime sinusoidale (metodo simbolico) →.

1. Rete simbolica

$\bar E = 160\, e^{j\pi/2} = j160$; $\bar J$: ampiezza $6$, valore efficace $3\sqrt2$, $\ \bar J = 3\sqrt2\, e^{j\pi/4} = 3 + j3$. $\dot Z_L = j10$, $\dot Z_{C1} = -j10$, $\dot Z_{C2} = -j20$.

2. Impedenza equivalente

GIC aperto, GIT in corto. Da A: $C_1$ in serie al parallelo $C_2 \parallel R_2$:

$$\dot Z_{C2} \parallel R_2 = \frac{-j20 \cdot 20}{20 - j20} = \frac{-j20}{1 - j} = \frac{-j20(1 + j)}{2} = 10 - j10$$

$$\boxed{\dot Z_{ABeq} = -j10 + 10 - j10 = 10 - j20\ \Omega}$$

3. Tensione a vuoto

Nodo A (a vuoto): il GIC preleva $\bar J$ da A verso il basso, e l'unico altro collegamento di A è $C_1$: in $C_1$ passa $\bar J$ da N verso A. Quindi $\bar U_N - \bar U_A = \dot Z_{C1} \bar J$.

Nodo N: escono $\bar J$ (verso A), la corrente in $R_2$ e quella nel ramo $C_2$–GIT (il cui nodo intermedio è a $\bar E$):

$$\bar J + \frac{\bar U_N}{R_2} + \frac{\bar U_N - \bar E}{\dot Z_{C2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \bar U_N\,(0{,}05 + j0{,}05) = -\bar J + j0{,}05\, \bar E$$

(perché $\frac{1}{-j20} = j0{,}05$). Termine noto: $-(3 + j3) + j0{,}05 \cdot j160 = -3 - j3 - 8 = -11 - j3$.

$$\bar U_N = \frac{-11 - j3}{0{,}05 + j0{,}05} = \frac{(-11 - j3)(0{,}05 - j0{,}05)}{0{,}005} = \frac{-0{,}7 + j0{,}4}{0{,}005} = -140 + j80$$

Il prodotto al numeratore(-11)(0,05) = -0,55; (-11)(-j0,05) = +j0,55; (-j3)(0,05) = -j0,15; (-j3)(-j0,05) = j² 0,15 = -0,15. Totale -0,7 + j0,4..

$$\bar V_{AB0} = \bar U_A = \bar U_N - \dot Z_{C1}\bar J = -140 + j80 - (-j10)(3 + j3) = -140 + j80 + j30 - 30$$

$$\boxed{\bar V_{AB0} = -170 + j110\ \mathrm V}$$

4. Lettura del voltmetro

Il voltmetro è un circuito aperto: alla porta c'è solo il carico $R_1 + \dot Z_L = 10 + j10$. Partitore:

$$\bar V_{AB} = \bar V_{AB0}\, \frac{10 + j10}{10 + j10 + 10 - j20} = \bar V_{AB0}\, \frac{10 + j10}{20 - j10}$$

Con i moduli: $|\bar V_{AB0}| = \sqrt{170^2 + 110^2} = \sqrt{41\,000} = 10\sqrt{410}$, e $\frac{|10 + j10|}{|20 - j10|} = \frac{10\sqrt2}{10\sqrt5} = \sqrt{\frac25}$:

$$\boxed{V_V = 10\sqrt{410} \cdot \sqrt{\tfrac25} = 10\sqrt{164} = 20\sqrt{41} \approx 128\ \mathrm V}$$