Esercizio 2.7 - Thévenin con un GTPT

Testo (Eserciziario, es. 2.7). Rete in regime stazionario con $R_1 = 4\ \Omega$, $R_2 = 2\ \Omega$, $R_3 = 6\ \Omega$, $R_4 = 2\ \Omega$, un GIC $J_1 = 5\ \mathrm A$ e un GTPT con $\alpha = 2$. Determinare $E_{eq}$ ed $R_{eq}$ dell'equivalente di Thévenin ai morsetti AB.

Figura (descritta). Filo in basso = B. Nodi in alto: L (a sinistra) e M (al centro).

Risultati: $E_{eq} = 20\ \mathrm V$, $R_{eq} = 6\ \Omega$.

Teoria: Reti con generatori pilotatiUna rete lineare con generatori pilotati si risolve con gli stessi metodi (Kirchhoff, nodi, anelli, sovrapposizione, Thévenin e Norton) aggiungendo un'equazione per ogni pilotato: quella che esprime la grandezza di controllo con le incognite. Nella sovrapposizione si spengono solo i generatori indipendenti; i pilotati restano sempre attivi. La resistenza equivalente non si trova con serie e parallelo: si usa un generatore di prova (R_eq = V*/I* con i generatori indipendenti spenti) oppure il rapporto v_0 / i_cc. Con i pilotati R_eq può venire anche negativa.Reti con generatori pilotati →, Teoremi di Thévenin e di NortonUna rete resistiva lineare vista da due morsetti equivale (Thévenin) a un GIT in serie a un resistore: la f.e.m. è la tensione a vuoto v_0 e il resistore è la resistenza interna R_eq, cioè la resistenza vista dai morsetti con tutti i generatori indipendenti spenti. Equivale anche (Norton) a un GIC in parallelo a un resistore: la corrente è quella di cortocircuito i_cc e la conduttanza è G_eq = 1/R_eq. Vale R_eq = v_0 / i_cc.Teoremi di Thévenin e di Norton →.

0. Semplificazioni

• $R_2$ non conta. È in parallelo al GTPT, che impone la tensione tra L e M qualunque sia la corrente: $R_2$ porta una corrente fissata da quella tensione, ma non cambia nessun potenziale. Vale come per un resistore in parallelo a un GIT (il pilotato impone la tensioneUn generatore di tensione, indipendente o pilotato, fissa la differenza di potenziale tra i suoi morsetti; un resistore in parallelo cambia solo la corrente erogata dal generatore, non le tensioni del resto della rete.).
• Il vincolo del GTPT dà subito $V_M = V_L + \alpha V_L = 3 V_L$.
• Supernodo. L e M, legati dal GTPT, si trattano insieme: la LKC si scrive sulla superficie che li racchiude, e le correnti nel GTPT e in $R_2$ restano dentro.

1. Tensione a vuoto

A vuoto $R_4$ non porta corrente, quindi $V_A = V_M$. LKC sul supernodo {L, M}: entra $J_1$, escono le correnti in $R_1$ e $R_3$:

$$J_1 = \frac{V_L}{R_1} + \frac{V_M}{R_3} = \frac{V_L}{4} + \frac{3 V_L}{6} = 0{,}75\, V_L \quad\Longrightarrow\quad V_L = \frac{20}{3}\ \mathrm V$$

$$E_{eq} = V_{AB0} = V_M = 3 \cdot \frac{20}{3} = 20\ \mathrm V$$

2. Corrente di cortocircuito

Con A collegato a B, $R_4$ è in parallelo a $R_3$ e porta la corrente $I_{cc} = V_M / R_4$ uscente da A. LKC sul supernodo:

$$J_1 = \frac{V_L}{4} + \frac{3V_L}{6} + \frac{3V_L}{2} = 2{,}25\, V_L \quad\Longrightarrow\quad V_L = \frac{20}{9}\ \mathrm V, \quad V_M = \frac{20}{3}\ \mathrm V$$

$$I_{cc} = \frac{V_M}{R_4} = \frac{20/3}{2} = \frac{10}{3}\ \mathrm A$$

$$\boxed{R_{eq} = \frac{V_{AB0}}{I_{cc}} = \frac{20}{10/3} = 6\ \Omega}$$

3. Verifica con il generatore di prova

$J_1$ spento (aperto). GIC di prova $I^*$ che entra in A, tensione $V^* = V_A$. La corrente $I^*$ attraversa $R_4$: $V_M = V^* - R_4 I^*$. Dal supernodo (senza $J_1$): $I^* = \frac{V_L}{4} + \frac{V_M}{6}$ con $V_L = V_M / 3$:

$$I^* = \frac{V_M}{12} + \frac{V_M}{6} = \frac{V_M}{4} \quad\Longrightarrow\quad V_M = 4 I^*, \quad V^* = 4I^* + 2I^* = 6 I^* \quad\Longrightarrow\quad R_{eq} = 6\ \Omega \ ✓$$

Si vede anche la struttura: dalla porta si vede $R_4$ in serie a "qualcosa" da $4\ \Omega$, che è $R_3 = 6\ \Omega$ in parallelo a $R_1$ "trasformato" dal pilotato ($R_1$ ha tensione $V_M/3$, quindi porta un terzo della corrente: sembra un resistore da $3 R_1 = 12\ \Omega$; e $6 \parallel 12 = 4$).