Esercizio 1.8 - rete con tre generatori e quattro resistori

Testo (Eserciziario, es. 1.8). La rete in figura è a regime stazionario, con $E_1 = 20\ \mathrm V$, $E_2 = 40\ \mathrm V$, $E_3 = 80\ \mathrm V$, $R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = 10\ \Omega$. Calcolare la corrente $I_{R4}$ indicata in figura.

Figura (descritta). Due fili orizzontali, uno in alto (nodo C) e uno in basso (nodo D), collegati da quattro rami verticali, da sinistra a destra:

  C ●────┬──────────┬──────────┬──────────┐
         │          │          │          │
        R1         R2         R4 ↓ I_R4  R3
         │          │          │          │
       A ●        B ●          │        E ●
        (+)        (+)         │         (+)
        E1         E2          │         E3
        (−)        (−)         │         (−)
  D ●────┴──────────┴──────────┴──────────┘

Risultato: $I_{R4} = \dfrac72\ \mathrm A = 3{,}5\ \mathrm A$.

1. Contare lati, nodi, equazioni

• Lati (bipoli): 3 generatori + 4 resistori, $\ell = 7$.
• Nodi: A, B, C, D, E, quindi $n = 5$.
• Incognite: una tensione e una corrente per ogni bipolo, $2\ell = 14$.

Le equazioni (vedi Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) →):

Quattordici equazioni per quattordici incognite.

2. Fissare i riferimenti

• Generatori: convenzione del generatoreCorrente di riferimento uscente dal morsetto positivo della tensione.Convenzioni, potenza e lavoro elettrico →, perché il GITGeneratore ideale di tensione: la tensione ai morsetti è uguale alla f.e.m. qualunque sia la corrente.Generatori elettrici, GIT e GAT → ha $V = E$ con il $+$ dove c'è il $+$ del simbolo. Quindi $I_{E1}$, $I_{E2}$, $I_{E3}$ sono prese verso l'alto (escono dal $+$).
• Resistori: convenzione dell'utilizzatore. $R_1$ ha un solo nodo in comune con $E_1$ (il nodo A, dove non arriva nient'altro), quindi conviene prendere $I_{R1}$ nello stesso verso di $I_{E1}$ (verso l'alto): così la LKC in A dirà semplicemente $I_{E1} = I_{R1}$. Stesso ragionamento per $I_{R2}$ e $I_{R3}$ (verso l'alto). Per $R_4$ si tiene il verso del testo, verso il basso.
• Di conseguenza, con la convenzione dell'utilizzatore, $V_{R1}$, $V_{R2}$, $V_{R3}$ hanno il $+$ in basso (la corrente entra dal basso) e $V_{R4}$ ha il $+$ in alto.

3. Le equazioni

LKC su A, B, C, E (correnti uscenti con il $+$):

$$\begin{cases} I_{E1} - I_{R1} = 0 & \text{(nodo A)} \\ I_{E2} - I_{R2} = 0 & \text{(nodo B)} \\ -I_{R1} - I_{R2} - I_{R3} + I_{R4} = 0 & \text{(nodo C)} \\ I_{E3} - I_{R3} = 0 & \text{(nodo E)} \end{cases}$$

Nel nodo C le tre correnti dei rami con generatore arrivano dal basso (sono entranti, segno $-$) e $I_{R4}$ parte verso il basso (uscente, segno $+$).

LKT sui tre anelli (le finestre tra rami vicini), percorsi in senso orario partendo da D:

• Anello 1 (rami 1 e 2): si sale nel ramo 1 e si scende nel ramo 2. Salendo si attraversa $E_1$ dal $-$ al $+$ ($-V_{E1}$) e $R_1$ dal $+$ al $-$ ($+V_{R1}$); scendendo si attraversa $R_2$ dal $-$ al $+$ ($-V_{R2}$) ed $E_2$ dal $+$ al $-$ ($+V_{E2}$): $$-V_{E1} + V_{R1} - V_{R2} + V_{E2} = 0$$
• Anello 2 (rami 2 e 3): si sale nel ramo 2 ($-V_{E2} + V_{R2}$) e si scende in $R_4$ dal $+$ al $-$ ($+V_{R4}$): $$-V_{E2} + V_{R2} + V_{R4} = 0$$
• Anello 3 (rami 3 e 4): si sale in $R_4$ dal $-$ al $+$ ($-V_{R4}$), si scende nel ramo 4 attraversando $R_3$ dal $-$ al $+$ ($-V_{R3}$) ed $E_3$ dal $+$ al $-$ ($+V_{E3}$): $$-V_{R4} - V_{R3} + V_{E3} = 0$$

Equazioni dei bipoli:

$$V_{R1} = R_1 I_{R1},\quad V_{R2} = R_2 I_{R2},\quad V_{R3} = R_3 I_{R3},\quad V_{R4} = R_4 I_{R4},\quad V_{E1} = E_1,\quad V_{E2} = E_2,\quad V_{E3} = E_3$$

4. Risolvere il sistema

Strategia: sostituire le equazioni dei bipoli nelle LKT, così restano solo le correnti dei resistori; poi esprimere tutto in funzione di una sola corrente e usare la LKC in C.

Le tre LKT diventano:

$$\begin{cases} R_1 I_{R1} - R_2 I_{R2} = E_1 - E_2 \\ R_2 I_{R2} + R_4 I_{R4} = E_2 \\ R_3 I_{R3} + R_4 I_{R4} = E_3 \end{cases}$$

Dalla prima: $I_{R2} = \dfrac{E_2 - E_1 + R_1 I_{R1}}{R_2}$.

Mettendo $R_2 I_{R2} = E_2 - E_1 + R_1 I_{R1}$ nella seconda: $R_4 I_{R4} = E_2 - (E_2 - E_1 + R_1 I_{R1}) = E_1 - R_1 I_{R1}$, cioè $I_{R4} = \dfrac{E_1 - R_1 I_{R1}}{R_4}$.

Mettendo $R_4 I_{R4} = E_1 - R_1 I_{R1}$ nella terza: $I_{R3} = \dfrac{E_3 - E_1 + R_1 I_{R1}}{R_3}$.

Con i numeri ($R = 10\ \Omega$ per tutti):

$$I_{R2} = \frac{20 + 10\,I_{R1}}{10} = 2 + I_{R1}, \qquad I_{R3} = \frac{60 + 10\,I_{R1}}{10} = 6 + I_{R1}, \qquad I_{R4} = \frac{20 - 10\,I_{R1}}{10} = 2 - I_{R1}$$

LKC in C ($I_{R1} + I_{R2} + I_{R3} = I_{R4}$):

$$I_{R1} + (2 + I_{R1}) + (6 + I_{R1}) = 2 - I_{R1} \quad\Longrightarrow\quad 4\,I_{R1} = -6 \quad\Longrightarrow\quad I_{R1} = -1{,}5\ \mathrm A$$

Quindi

$$I_{R2} = 0{,}5\ \mathrm A, \qquad I_{R3} = 4{,}5\ \mathrm A, \qquad \boxed{I_{R4} = 2 - (-1{,}5) = 3{,}5\ \mathrm A = \tfrac72\ \mathrm A}$$

$I_{R1} < 0$: nel ramo 1 la corrente scende davvero, cioè entra nel $+$ di $E_1$. Il generatore $E_1$, che ha la f.e.m. più bassa, sta assorbendo potenza (come una batteria che si ricarica).

5. Verifiche

Con il potenziale di C. Si prende D come riferimento, $u_D = 0$. La tensione su $R_4$ è $V_{R4} = u_C = R_4 I_{R4} = 35\ \mathrm V$. In ogni ramo con generatore, salendo da D: si guadagna $E_k$ attraversando il generatore e si perde $R_k I_{Rk}$ sul resistore, quindi $u_C = E_k - R_k I_{Rk}$:

Bilancio delle potenze. Potenza erogata dai generatori (convenzione del generatore, $E_k I_{Ek}$): $20 \cdot (-1{,}5) + 40 \cdot 0{,}5 + 80 \cdot 4{,}5 = -30 + 20 + 360 = 350\ \mathrm W$. Potenza assorbita dai resistori ($R I^2$): $10\,(1{,}5^2 + 0{,}5^2 + 4{,}5^2 + 3{,}5^2) = 10 \cdot 35 = 350\ \mathrm W$ ✓. (Che le due coincidano sempre è il teorema di TellegenIn ogni rete la somma delle potenze entranti in tutti i bipoli, con la convenzione dell'utilizzatore, è zero istante per istante.Teorema di Tellegen →.)

6. Osservazione: aggiungere un circuito aperto

Se tra C e D si aggiunge un circuito apertoBipolo con corrente sempre nulla, qualunque sia la tensione.Resistore e legge di Ohm → (con tensione $V_5$ e corrente $I_5$), la soluzione non cambia:

• le tre LKT scritte sopra restano valide, perché quelle maglie esistono ancora;
• la LKC in C acquista un termine $I_5$, ma $I_5 = 0$, quindi è la stessa equazione;
• le equazioni degli altri bipoli non cambiano.

Il sistema di prima è ancora soddisfatto, e il circuito aperto si limita ad avere ai capi la tensione $V_5 = u_C - u_D = 35\ \mathrm V$. In generale un circuito aperto si può togliere o aggiungere senza alterare il resto della rete.

Errori comuni

• Prendere le correnti dei resistori in verso opposto a quelle dei generatori dello stesso ramo e poi dimenticare il segno nella LKC del nodo intermedio.
• "Correggere" $I_{R1} = -1{,}5\ \mathrm A$ in $+1{,}5$: il segno è informazione (la corrente va nel verso opposto alla freccia).
• Scrivere più LKT di quelle indipendenti e trovarsi con un sistema sovradeterminato e inconsistente per un errore di segno.