Componenti elettrici e modello a parametri concentrati

Prima parte della lezione 2 ("Introduzione allo studio delle reti elettriche"). Si appoggia su Carica e corrente elettricaLa corrente è la carica netta che attraversa una superficie orientata nell'unità di tempo (ampere = coulomb al secondo); la densità di corrente J è la sua versione locale, e la legge di continuità dice che in regime stazionario la corrente totale uscente da una superficie chiusa è nulla.Carica e corrente elettrica → e Tensione elettrica e potenzialeLa tensione è l'integrale del campo elettrico lungo una linea orientata (in volt) ed è il lavoro elettrico per unità di carica; quando il campo è solo coulombiano, come in regime stazionario, non dipende dal percorso ed è una differenza di potenziale, e lungo un percorso chiuso vale zero.Tensione elettrica e potenziale →. Seguito: Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 2 - domande e risposte.

Rete elettrica e componenti

Il funzionamento di ogni dispositivo elettrico è governato dalle equazioni di Maxwell, ma per progettare e analizzare un circuito di solito basta descrivere i componenti "nel loro complesso", guardando solo cosa succede ai loro collegamenti.

• I componenti elettrici sono oggetti fisici: generatori, linee di collegamento, trasformatori, amplificatori, "carichi" (lampadine, motori, resistenze di riscaldamento…).
• Una rete elettrica (o circuito elettrico) è un insieme di componenti collegati tra loro.

Il componente nel modello di rete

Nel modello di rete un componente è:

• una regione di spazio, sede di fenomeni elettrici e/o magnetici, delimitata da una superficie limite;
• dalla superficie limite escono due o più tratti di conduttore, i terminali $t_1, t_2, \dots$; a ciascun terminale è associata una corrente $i_1, i_2, \dots$;
• le estremità dei terminali sono i morsetti $m_1, m_2, \dots$: sono i punti in cui il componente si collega agli altri.

            superficie limite
          ┌───────────────────┐
  m1 ●────┤ t1                │
   i1 →   │                   │
          │    (fenomeni      ├──── t3 ────● m3
  m2 ●────┤ t2  interni)      │     i3 →
   i2 →   └───────────────────┘

Il punto chiave: i componenti interagiscono tra loro solo attraverso i morsetti. Quello che succede dentro la superficie limite interessa solo per quanto si riflette su correnti e tensioni ai terminali.

Le due grandezze: corrente e tensione

Per descrivere un componente si usano solo due grandezze scalari:

• a ciascun terminale si associa una corrente (in A);
• a ciascuna coppia di morsetti si associa una tensione (in V).

Correnti e tensioni "vivono" fuori dalla superficie limite: la corrente di un terminale si calcola su una sezione del terminale, la tensione tra due morsetti lungo una linea che resta all'esterno del componente. Non serve sapere cosa c'è dentro.

"Tra morsetti" o "tra terminali"? I terminali sono fatti di metalli ottimi conduttori, quindi lungo un terminale il campo elettrico è praticamente nullo e tutti i suoi punti hanno lo stesso potenziale (sono equipotenziali). La tensione tra due morsetti è allora uguale a quella tra due punti qualsiasi dei rispettivi terminali, e le due espressioni si usano indifferentemente.

Esempio: una pila. La superficie limite è l'involucro esterno; i terminali sono i due contatti metallici (polo positivo e polo negativo), i morsetti le loro estremità. C'è una corrente per terminale (le due correnti sono uguali, come si vedrà) e una tensione tra i due morsetti. Per una lampadina a incandescenza: superficie limite il bulbo con l'attacco, terminali i due contatti dell'attacco (vite e fondello).

Regimi di funzionamento

Corrente e tensione ereditano le proprietà dei campi da cui derivano ($\mathbf J$ ed $\mathbf E$). Queste proprietà dipendono da quanto rapidamente le grandezze cambiano nel tempo.

Regime stazionario

Tutte le grandezze sono costanti nel tempo. Allora valgono due fatti esatti:

1. il campo di corrente è solenoidale: la corrente totale uscente da qualunque superficie chiusa è nulla (nessun accumulo di carica, vedi la legge di continuitàLa corrente uscente da una superficie chiusa è l'opposto della derivata della carica interna; se nulla è variabile, la derivata è zero.Carica e corrente elettrica →);
2. il campo elettrico è conservativo: la tensione non dipende dalla linea ma solo dagli estremi, quindi è una differenza di potenziale.

Regime quasi stazionario

Le grandezze variano nel tempo, $i(t)$ e $v(t)$, ma le variazioni sono "sufficientemente lente". Restando fuori dai componenti si ammette ancora, con ottima approssimazione, che:

1. la corrente totale uscente dalla superficie limite di ogni componente è nulla;
2. tutte le tensioni tra coppie di morsetti sono differenze di potenziale.

Cosa vuol dire "lente". Un segnale che varia con frequenza $f$ si propaga con lunghezza d'onda $\lambda = c/f$ (con $c \approx 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$). L'approssimazione regge quando il circuito è molto più piccolo di $\lambda$, perché allora il segnale arriva "istantaneamente" in ogni punto del circuito.

Per un'antenna o un radar le dimensioni sono confrontabili con $\lambda$: il componente esiste proprio per irradiare onde elettromagnetiche, quindi correnti e tensioni dipendono dalla posizione e il modello di rete non basta (serve il modello "campi").

Dentro i componenti invece può succedere di tutto: in un generatore agiscono campi non conservativi, in un condensatore la carica si accumula sulle armature. Le due proprietà si chiedono solo all'esterno delle superfici limite.

Modello a parametri concentrati

Nel regime stazionario e quasi stazionario, per ogni componente con terminali $1, \dots, n$:

$$\sum_{k} i_{usc,k} = 0 \qquad\qquad v_{hk} = u_h - u_k \quad \forall h,k$$

dove $i_{usc,k}$ è la corrente del terminale $k$ presa con riferimento uscente e $u_h$ è il potenziale del morsetto $h$.

In questo modello non c'è più dipendenza dallo spazio: ogni componente è riassunto da poche grandezze ai morsetti (le sue proprietà fisiche sono "concentrate" in un punto del circuito, per esempio un valore di resistenza). Per questo si chiama modello a parametri concentrati. È il modello usato in tutto il corso.

Le leggi che legano tensioni e correnti in una rete si dividono in due famiglie:

• le leggi di Kirchhoff, che dipendono solo da come i componenti sono collegati (la topologia): Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT)LKC: in ogni istante la somma algebrica delle correnti che attraversano una superficie chiusa (per esempio attorno a un nodo) è zero. LKT: in ogni istante la somma algebrica delle tensioni lungo un percorso chiuso che tocca solo nodi (per esempio una maglia) è zero. Dipendono solo da come sono collegati i componenti.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) →;
• le equazioni dei componenti (equazioni tipologiche o costitutive), che dipendono solo dalla natura fisica del componente e non dal circuito in cui è inserito: per esempio quella del resistoreComponente con tensione proporzionale alla corrente, v = R i.Resistore e legge di Ohm →.

Errori comuni

• Pensare che le due proprietà valgano dentro i componenti. Valgono fuori: dentro un generatore il campo non è conservativo, ed è proprio questo che lo fa funzionare.
• Applicare il modello di rete a frequenze altissime o a circuiti grandi rispetto alla lunghezza d'onda (antenne, linee di trasmissione lunghe).