Esercizio 1.6 - legge di Kirchhoff delle tensioni

Testo (Eserciziario, es. 1.6). In figura è rappresentata una rete in regime stazionario costituita da otto bipoli, con $V_1 = 10\ \mathrm V$, $V_2 = 12\ \mathrm V$, $V_3 = 6\ \mathrm V$, $V_4 = 8\ \mathrm V$. Applicando la LKT agli anelli, calcolare le tensioni $V_5$, $V_6$, $V_7$, $V_8$.

Figura (descritta). Cinque nodi disposti a croce: il nodo 2 al centro, 1 a sinistra, 3 a destra, 4 in alto, 5 in basso. Il disegno è un rettangolo diviso in quattro "finestre" (in alto a sinistra, in alto a destra, in basso a sinistra, in basso a destra).

Risultati: $V_5 = 2\ \mathrm V$, $V_6 = 4\ \mathrm V$, $V_7 = 6\ \mathrm V$, $V_8 = 4\ \mathrm V$.

1. Quante equazioni servono

La rete ha $\ell = 8$ lati e $n = 5$ nodi. Le LKT indipendentiIn una rete con n nodi e ℓ lati le LKT linearmente indipendenti sono ℓ − n + 1; per una rete piana si ottengono dagli anelli.Leggi di Kirchhoff (LKC e LKT) → sono

$$\ell - n + 1 = 8 - 5 + 1 = 4$$

e la rete, disegnata senza incroci, ha esattamente $4$ anelli (le quattro finestre). Le incognite sono $4$: una LKT per anello basta.

2. Come si scrive ciascuna LKT

Si percorre ogni anello in verso orario. Regola dei segni: se si attraversa un bipolo dal suo $+$ al suo $-$ la tensione si scrive con il $+$, se lo si attraversa dal $-$ al $+$ con il $-$.

Anello 1 (in alto a sinistra: nodi 1, 4, 2)

Orario: $1 \to 4 \to 2 \to 1$.

$$V_7 + V_3 - V_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_7 = V_2 - V_3 = 12 - 6 = 6\ \mathrm V$$

Anello 2 (in alto a destra: nodi 4, 3, 2)

Orario: $4 \to 3 \to 2 \to 4$.

$$-V_8 + V_1 - V_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_8 = V_1 - V_3 = 10 - 6 = 4\ \mathrm V$$

Anello 3 (in basso a sinistra: nodi 1, 2, 5)

Orario: $1 \to 2 \to 5 \to 1$.

$$V_2 - V_4 - V_6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_6 = V_2 - V_4 = 12 - 8 = 4\ \mathrm V$$

Anello 4 (in basso a destra: nodi 2, 3, 5)

Orario: $2 \to 3 \to 5 \to 2$.

$$-V_1 + V_5 + V_4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_5 = V_1 - V_4 = 10 - 8 = 2\ \mathrm V$$

3. Verifica con i potenziali

Un controllo indipendente: si sceglie il nodo 2 come riferimento, $u_2 = 0$, e si ricavano i potenziali dalle tensioni note (ogni tensione è $u_+ - u_-$):

• $V_1 = u_3 - u_2 \Rightarrow u_3 = 10$;
• $V_2 = u_1 - u_2 \Rightarrow u_1 = 12$;
• $V_3 = u_4 - u_2 \Rightarrow u_4 = 6$;
• $V_4 = u_5 - u_2 \Rightarrow u_5 = 8$.

Allora:

Funziona perché la LKT equivale proprio a dire che le tensioni sono differenze di potenziali di nodo.

Osservazione: il verso di percorrenza non conta

Percorrendo un anello in verso antiorario, ogni tensione cambia segno nell'equazione: per l'anello 1 si otterrebbe $-V_7 - V_3 + V_2 = 0$, che è la stessa equazione moltiplicata per $-1$. Il vincolo sulle tensioni è identico.

Errori comuni

• Decidere il segno guardando la posizione del bipolo nel disegno invece del suo $+$.
• Scrivere una LKT su un percorso che non è chiuso (deve tornare al nodo di partenza).