Convenzioni, potenza e lavoro elettrico

Ultima parte della lezione 2. Prima: Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →. Esercizi: Esercizio 1.1 - potenza e lavoro di un bipolo, Esercizio 1.2 - misura con il wattmetro, Esercizio 1.3 - potenza di un tripolo, Esercizio 1.4 - potenza di un doppio bipolo, Esercizio 1.5 - potenza di un triplo bipolo. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 2 - domande e risposte.

Le due convenzioni

Su una porta (per esempio un bipolo con morsetti $A$ e $B$) si scelgono due riferimenti: dove mettere il $+$ della tensione ($A$ o $B$) e da che parte far entrare la freccia della corrente. Sono $2 \times 2 = 4$ combinazioni, ma contano solo due situazioni, a seconda di come sono orientate le due frecce l'una rispetto all'altra:

(Ricorda che la freccia della tensione punta verso il $+$.)

  convenzione dell'utilizzatore        convenzione del generatore
        i →                                  ← i
   (+) ●────[ bipolo ]────● (−)        (+) ●────[ bipolo ]────● (−)

Si passa da una convenzione all'altra invertendo uno solo dei due riferimenti (o quello di tensione o quello di corrente).

I nomi vengono dall'uso tipico: per un carico (utilizzatore) si sceglie di solito la prima, per un generatore la seconda, così che i numeri vengano positivi. Ma è solo un'abitudine: qualunque convenzione si può usare su qualunque componente.

Potenza elettrica

Il prodotto della tensione di porta per la corrente di porta è la potenza elettrica della porta:

$$p_k = v_k \, i_k = \frac{d\mathcal L}{dq} \cdot \frac{dq}{dt} = \frac{d\mathcal L}{dt} \qquad [\mathrm{V \cdot A} = \mathrm W]$$

Perché è una potenza. La tensioneÈ il lavoro elettrico per unità di carica lungo la linea: v = dL/dq.Tensione elettrica e potenziale → è lavoro per unità di carica, la correnteÈ la carica che attraversa la superficie per unità di tempo: i = dq/dt.Carica e corrente elettrica → è carica per unità di tempo: il prodotto è lavoro per unità di tempo, cioè potenza, in watt. (La giustificazione fisica rigorosa passa dal teorema di Poynting, che il corso non sviluppa.)

Il segno e il suo significato fisico

Il numero $p = v\,i$ può essere positivo o negativo. Cosa significhi dipende dalla convenzione:

Il senso fisico non dipende dalla convenzione: cambiare convenzione cambia il segno di una sola delle due grandezze, quindi cambia il segno di $p$, ma cambia anche il nome (da entrante a uscente). Le due cose si compensano.

Esempio 1 (utilizzatore). Su un bipolo all'istante $t_1$: $v(t_1) = 100\ \mathrm V$, $i(t_1) = 2\ \mathrm A$. $p(t_1) = 100 \cdot 2 = +200\ \mathrm W$, potenza entrante positiva: il bipolo assorbe $200\ \mathrm W$.

Esempio 2 (utilizzatore). All'istante $t_2$: $v(t_2) = 50\ \mathrm V$, $i(t_2) = -3\ \mathrm A$. $p(t_2) = 50 \cdot (-3) = -150\ \mathrm W$, potenza entrante negativa: il bipolo eroga $150\ \mathrm W$.

Stessa situazione con la convenzione del generatore: si inverte la freccia della corrente, quindi la corrente letta diventa $+3\ \mathrm A$ e $p = 50 \cdot 3 = +150\ \mathrm W$, potenza uscente positiva: il bipolo eroga $150\ \mathrm W$. Stesso risultato fisico ✓.

Potenza di un m-bipolo e di un n-polo

Se le $m$ porte di un m-bipolo sono tutte convenzionate allo stesso modo, la potenza totale è la somma:

$$p = \sum_{k=1}^{m} p_k = \sum_{k=1}^{m} v_k \, i_k$$

Se le convenzioni sono miste, prima si porta tutto alla stessa convenzione: una potenza uscente $p_k$ equivale a una potenza entrante $-p_k$.

Per un n-polo lo si vede come $(n-1)$-bipolo (un morsetto comune, $n-1$ porte, vedi Bipoli, n-poli e porte elettricheUn n-polo ha n terminali: le sue correnti uscenti sommano a zero e le sue tensioni sono differenze di potenziale, quindi bastano n−1 correnti e n−1 tensioni per descriverlo. Una porta è una coppia di morsetti in cui la corrente che entra da uno esce dall'altro; un m-bipolo ha m porte e ogni n-polo si può vedere come (n−1)-bipolo.Bipoli, n-poli e porte elettriche →) e si sommano le potenze delle $n-1$ porte.

Esempio 3 (doppio bipolo, regime stazionario). Porta 1: $V_1 = 100\ \mathrm V$, $I_1 = 5\ \mathrm A$, convenzione dell'utilizzatore. Porta 2: $V_2 = 50\ \mathrm V$, $I_2 = 2\ \mathrm A$, convenzione del generatore.

• $P_1 = V_1 I_1 = 500\ \mathrm W$, entrante: la porta 1 assorbe $500\ \mathrm W$.
• $P_2 = V_2 I_2 = 100\ \mathrm W$, uscente: la porta 2 eroga $100\ \mathrm W$.
• Potenza totale entrante: $P = P_1 - P_2 = 500 - 100 = 400\ \mathrm W$, assorbita. (Il $-$ davanti a $P_2$ è il passaggio da uscente a entrante.)

Esempio 4 (tripolo, regime stazionario). Sono noti $V_{13} = 100\ \mathrm V$, $I_1 = 2\ \mathrm A$, $V_{23} = 10\ \mathrm V$, $I_2 = 5\ \mathrm A$, con $I_1$ e $I_2$ entranti nei morsetti 1 e 2. Si sceglie il morsetto 3 come comune: il tripolo diventa un doppio bipolo con porte (1,3) e (2,3), entrambe con la corrente entrante dal $+$, cioè convenzione dell'utilizzatore.

• $P_1 = V_{13} I_1 = 200\ \mathrm W$ assorbiti alla porta 1;
• $P_2 = V_{23} I_2 = 50\ \mathrm W$ assorbiti alla porta 2;
• $P = P_1 + P_2 = 250\ \mathrm W$ assorbiti.

La corrente $I_3 = I_1 + I_2 = 7\ \mathrm A$ esce dal morsetto 3 ma non serve: è già "contata" come corrente di ritorno delle due porte.

Wattmetro

La potenza si misura con il wattmetro, un doppio bipolo con:

• due morsetti amperometrici, da inserire in serie (come un amperometro);
• due morsetti voltmetrici, da collegare in parallelo (come un voltmetro).

Lo strumento indica il prodotto (tensione voltmetrica) × (corrente amperometrica), con i riferimenti segnati sui morsetti con $\pm$: la convenzione della misura è quella fissata da questi riferimenti, quindi il segno della lettura va interpretato. Il wattmetro ideale non ha errori e non perturba il circuito. Esempio: Esercizio 1.2 - misura con il wattmetro.

Lavoro elettrico

Il lavoro elettrico scambiato alla porta $h$ nell'intervallo $\Delta t$ è l'integrale della potenza:

$$\mathcal L_h = \int_{\Delta t} p_h(t) \, dt = \int_{\Delta t} v_h(t) \, i_h(t) \, dt \qquad [\mathrm J]$$

• È entrante o uscente come la potenza da cui viene (dipende dalla convenzione).
• Spesso, in modo improprio, si chiama "energia elettrica".
• Per un m-bipolo con tutte le porte convenzionate allo stesso modo: $\mathcal L = \sum_h \mathcal L_h = \int_{\Delta t} p(t)\,dt$.
• Unità pratica: il wattora, $1\ \mathrm{Wh} = 1\ \mathrm W \cdot 3600\ \mathrm s = 3600\ \mathrm J$, e il kilowattora: $1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\ \mathrm{MJ}$.

Esempio con potenza costante. Un forno assorbe $P = 2\ \mathrm{kW}$ per $1{,}5\ \mathrm h$: $\mathcal L = 2 \cdot 1{,}5 = 3\ \mathrm{kWh} = 3 \cdot 3{,}6 = 10{,}8\ \mathrm{MJ}$.

Esempio con potenza variabile. Un bipolo con convenzione dell'utilizzatore ha $v(t) = 10\ \mathrm V$ costante e $i(t) = 2 - t$ (ampere, con $t$ in secondi) per $0 \le t \le 4\ \mathrm s$. La potenza entrante è

$$p(t) = v(t)\,i(t) = 10\,(2 - t) = 20 - 10t \ \ \mathrm W$$

È positiva per $t < 2$ (il bipolo assorbe) e negativa per $t > 2$ (il bipolo eroga). Il lavoro entrante totale è l'area con segno sotto il grafico:

$$\mathcal L = \int_0^4 (20 - 10t)\,dt = \Big[20t - 5t^2\Big]_0^4 = 80 - 80 = 0\ \mathrm J$$

Il bipolo restituisce esattamente il lavoro che aveva assorbito (i due triangoli hanno la stessa area, $\frac12 \cdot 2 \cdot 20 = 20\ \mathrm J$ ciascuno).

Componenti attivi e passivi

Sia $\mathcal L_u(t_0, t)$ il lavoro uscente da un componente tra $t_0$ e $t$.

Attivi. Possono erogare lavoro illimitatamente, convertendolo da altre forme di energia (chimica, meccanica, luminosa…): $$\mathcal L_u(t_0, t) \ge 0 \text{ è possibile senza limiti}, \quad \forall t_0,\ \forall t > t_0$$ Si suppone anche che il processo sia reversibile, quindi possono anche assorbire lavoro illimitatamente (pensa a una batteria che si ricarica). Sono i generatori elettrici.

Passivi. Possono al più immagazzinare il lavoro assorbito sotto forma di energia elettrica o magnetica $w$, che è necessariamente limitata. In qualunque intervallo non possono erogare più lavoro di quanta energia immagazzinata perdono nello stesso tempo: $$\mathcal L_u(t_0, t) \le w(t_0) - w(t) \qquad \forall t_0,\ \forall t > t_0$$

In regime stazionario l'energia immagazzinata è costante, $w(t) = w(t_0)$, quindi $\mathcal L_u \le 0$ e la potenza uscente è $P_u \le 0$: un componente passivo in regime stazionario può solo assorbire potenza (o non scambiarne). Esempio: il resistore, che trasforma in calore tutta la potenza che assorbe (Resistore e legge di OhmPer molti materiali V = R I (legge di Ohm), con R = ρℓ/S per un cilindro; la potenza assorbita R I² diventa calore (effetto Joule), quindi il resistore con R > 0 è passivo. Il resistore ideale è il bipolo v = R i: lineare, tempo-invariante, bilaterale; i casi limite sono il cortocircuito (R = 0) e il circuito aperto (R = ∞).Resistore e legge di Ohm →).

Errori comuni

• Dire "potenza positiva = assorbita" senza guardare la convenzione. Vale solo con la convenzione dell'utilizzatore.
• Sommare potenze di porte con convenzioni diverse senza cambiare segno a quelle uscenti.
• Leggere il wattmetro senza guardare i suoi $\pm$: una lettura negativa non è un errore, dice solo che la potenza va nel verso opposto a quello dei riferimenti dello strumento.
• Confondere W e Wh: il watt è una potenza, il wattora un lavoro.