Autoverifica Lezione 1 - domande e risposte

Testo. Le 29 domande di autoverifica del docente sulla lezione 1 ("Richiami di elettromagnetismo"). All'esame ci sono 2 domande di teoria a risposta aperta (5 punti ciascuna): conviene saper rispondere a voce, poi controllare qui. Teoria: Carica e corrente elettricaLa corrente è la carica netta che attraversa una superficie orientata nell'unità di tempo (ampere = coulomb al secondo); la densità di corrente J è la sua versione locale, e la legge di continuità dice che in regime stazionario la corrente totale uscente da una superficie chiusa è nulla.Carica e corrente elettrica →, Tensione elettrica e potenzialeLa tensione è l'integrale del campo elettrico lungo una linea orientata (in volt) ed è il lavoro elettrico per unità di carica; quando il campo è solo coulombiano, come in regime stazionario, non dipende dal percorso ed è una differenza di potenziale, e lungo un percorso chiuso vale zero.Tensione elettrica e potenziale →.

Carica e densità di carica

1. Conosco i due "tipi" di carica elettrica? Positiva ($q^+ > 0$) e negativa ($q^- < 0$). Cariche dello stesso segno si respingono, di segno opposto si attraggono. La carica di un corpo è la somma algebrica $q = q^+ + q^-$.

2. Unità di misura della carica? Il coulomb, $\mathrm C$.

3. Ordine di grandezza della carica dell'elettrone? $\approx -1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm C$. Un coulomb corrisponde a circa $6{,}24 \cdot 10^{18}$ cariche elementari.

4. Densità volumetrica di carica: definizione, legame con la carica totale, unità? $\rho_c(P,t) = \dfrac{dq(P,t)}{d\tau}$, carica nel volumetto $d\tau$ attorno a $P$ divisa per il volumetto. La carica totale è $q = \int_V \rho_c\,d\tau$. Unità $\mathrm{C/m^3}$. Si separa in $\rho_c = \rho_c^+ + \rho_c^-$.

5. Densità superficiale di carica? $\sigma_c(P,t) = \dfrac{dq}{dS}$, carica per unità di superficie; $q = \int_S \sigma_c\,dS$; unità $\mathrm{C/m^2}$; $\sigma_c = \sigma_c^+ + \sigma_c^-$.

6. Saprei definire una densità lineare di carica? Sì, allo stesso modo lungo una linea: $\lambda_c = \dfrac{dq}{d\ell}$, $q = \int_\ell \lambda_c\,d\ell$, unità $\mathrm{C/m}$. Serve per cariche distribuite lungo un filo sottile.

Corrente

7. Definizione di corrente in termini di carica? Data una superficie $S$ orientata (versore $\mathbf n$), sia $\Delta q$ la carica netta che la attraversa in $\Delta t$ (carica, con il suo segno, che passa nel verso di $\mathbf n$ meno quella che passa nel verso opposto). Allora $i(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{dq}{dt}$. Invertendo $\mathbf n$ la corrente cambia segno.

8. Unità della corrente? L'ampere, $\mathrm A = \mathrm{C/s}$.

9. Definizione del vettore densità di corrente? $\mathbf J = \rho_c^+ \mathbf v_{\rho^+} + \rho_c^- \mathbf v_{\rho^-}$, con $\mathbf v_{\rho^\pm}$ le velocità delle cariche positive e negative. Può essere $\mathbf J \neq 0$ anche dove $\rho_c = 0$ (metalli).

10. Unità di $\mathbf J$? $\mathrm{A/m^2}$.

11. Legame tra $\mathbf J$ e $i$? La corrente è il flusso di $\mathbf J$ attraverso la superficie (ferma): $i = \int_S \mathbf J \cdot \mathbf n\,dS$. $\mathbf J$ è locale, $i$ è integrale.

12. Caso dei conduttori filiformi? Sezione piccola: $\mathbf J \cdot \mathbf t$ costante sulla sezione, quindi $i = (\mathbf J \cdot \mathbf t)\,S = \pm J S$ ($+$ se $\mathbf J$ è concorde con il riferimento della corrente).

13. Legge di continuità e significato fisico? $i_{usc}(t) = -\dfrac{dq_{int}(t)}{dt}$: la corrente totale uscente da una superficie chiusa è l'opposto della derivata della carica racchiusa. Significa che la carica si conserva: può cambiare dentro un volume solo entrando o uscendo dalla sua superficie.

14. Conseguenze nel caso stazionario? Grandezze costanti, quindi $dq_{int}/dt = 0$ e $i_{usc} = \oint_{S_c} \mathbf J \cdot \mathbf n\,dS = 0$.

15. Modi diversi di esprimerle? (a) La corrente totale uscente (o entrante) da ogni superficie chiusa è nulla. (b) Non c'è accumulo né prelievo di carica in nessun punto. (c) $\mathbf J$ è solenoidale, $\nabla \cdot \mathbf J = 0$. (d) Le linee di corrente non hanno sorgenti né pozzi, quindi sono chiuse.

16. Strumento per la corrente, collegamento, strumento ideale? L'amperometro, inserito in serie (la corrente lo attraversa); misura la corrente con riferimento dal morsetto $+$ al $-$. L'ideale non ha errori e non perturba il circuito: ha tensione nulla ai capi.

Campo coulombiano e potenziale

17. Espressione della forza coulombiana? $\Delta\mathbf F_c(P) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon}\dfrac{q\,\Delta q}{r_{QP}^2}\,\mathbf u_{QP}$, carica $q$ ferma in $Q$, carica di prova $\Delta q$ in $P$, mezzo uniforme di permittività $\varepsilon$.

18. Ordine di grandezza di $\varepsilon_0$? $\varepsilon_0 \approx 8{,}854 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\,m^2)}$ (cioè $\mathrm{F/m}$); $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$.

19. Campo coulombiano e unità? $\mathbf E_c(P) = \lim_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta\mathbf F_c}{\Delta q} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{q}{r_{QP}^2}\mathbf u_{QP}$: forza per unità di carica, indipendente da $\Delta q$. Unità $\mathrm{N/C} = \mathrm{V/m}$.

20. Proprietà fondamentale del campo coulombiano? È conservativo: $\oint_\ell \mathbf E_c \cdot \mathbf t\,d\ell = 0$ per ogni linea chiusa, con qualunque distribuzione di carica e qualunque mezzo.

21. Formulazione alternativa? L'integrale di $\mathbf E_c$ lungo una linea aperta dipende solo dagli estremi, non dal percorso.

22. Potenziale elettrico, unità, legame con $\mathbf E_c$? Funzione scalare $U$ con $\int_A^B \mathbf E_c \cdot \mathbf t\,d\ell = U(A) - U(B)$; definita a meno di una costante; unità il volt, $\mathrm V = \mathrm{J/C}$.

Campo elettrico e tensione

23. Campo elettrico nel caso generale? $\mathbf E(P,t) = \lim_{\Delta q \to 0} \frac{\Delta\mathbf F_e(P,t)}{\Delta q}$: forza elettrica per unità di carica su una carica di prova.

24. Cosa accade nei casi elettrostatico, stazionario, generico? Elettrostatico (cariche ferme, $\mathbf J = 0$) e stazionario ($\rho_c$ e $\mathbf J$ costanti): $\mathbf E = \mathbf E_c$. Generico: $\mathbf E = \mathbf E_c + \mathbf E_i$, con $\mathbf E_i$ campo indotto non conservativo.

25. Definizione di tensione? $v(t) = \int_\ell \mathbf E(P,t) \cdot \mathbf t\,d\ell$ lungo una linea orientata, aperta o chiusa; il verso della linea è il riferimento. Si usa $\mathbf E$, non $\mathbf E_c$.

26. Proprietà e simbologia? $v_{AB}$ va da $A$ (inizio) a $B$ (fine); si indica con $+$ su $A$ e $-$ su $B$, oppure con una freccia che punta verso $A$. $v_{BA} = -v_{AB}$. In generale dipende dal percorso.

27. Legame tra tensione e lavoro? $v = \int_\ell \frac{d\mathbf F_e}{dq} \cdot \mathbf t\,d\ell = \frac{d\mathcal L_e}{dq}$: la tensione è il lavoro delle forze elettriche per unità di carica lungo la linea.

28. Quando la tensione è una differenza di potenziale? Quando il campo indotto è nullo e $\mathbf E = \mathbf E_c$ (per esempio in regime stazionario): allora $V_{AB} = U(A) - U(B)$, indipendente dal percorso, e nulla su un percorso chiuso. Nei circuiti in regime quasi stazionario lo si assume fuori dai componenti.

29. Strumento per la tensione? Il voltmetro, collegato in parallelo: i due cordoni materializzano la linea, i puntali si appoggiano ai due punti. L'ideale non ha errori e non perturba il circuito: nei cordoni la corrente è nulla.