Generatori elettrici, GIT e GAT

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Seconda parte della lezione 3. Prima: Resistore e legge di Ohm. Domande di verifica: Autoverifica Lezione 3 - domande e risposte.

Perché servono forze non conservative

In un resistore percorso da corrente costante si dissipa potenza: le cariche girano in un circuito chiuso e perdono energia in calore a ogni giro. Qualcosa deve restituirgliela.

Non può farlo il campo coulombiano: è conservativo, quindi lungo un percorso chiuso fa lavoro nullo,

$\oint_\ell \mathbf E_c \cdot \mathbf t\,d\ell = 0$

Serve allora una forza per unità di carica non conservativa, detta forza elettrica specifica generatrice (o campo elettrico generatore):

$\mathbf E_g = \frac{d\mathbf F_g}{dq}, \qquad \oint \mathbf E_g \cdot \mathbf t\,d\ell \neq 0$

I componenti in cui agisce sono i generatori. A seconda dell'origine di $\mathbf E_g$ :

Tipo	Da dove viene l'energia	Esempio
elettrochimico	reazioni chimiche	pila, batteria
fotovoltaico	luce	pannello solare
elettromeccanico	moto (induzione)	alternatore, dinamo
piezoelettrico	deformazione meccanica	accendino piezo
termoelettrico	differenza di temperatura	termocoppia

Comportamento a vuoto

Un generatore è a vuoto quando i suoi morsetti non sono collegati a niente: non può uscire né entrare corrente.

Cosa succede dentro: $\mathbf E_g$ spinge le cariche positive verso un morsetto e le negative verso l'altro. Le cariche si accumulano ai terminali e generano un campo coulombiano $\mathbf E_c$ , sia dentro sia fuori dal componente. Dentro, $\mathbf E_c$ si oppone a $\mathbf E_g$ . L'accumulo continua finché, punto per punto, i due campi si bilanciano:

$\mathbf E_g + \mathbf E_c = \mathbf 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathbf E_g = -\mathbf E_c \quad (\text{dentro il generatore a vuoto})$

Se il campo totale non fosse nullo, le cariche continuerebbero a muoversi, ma a vuoto non possono uscire: quindi all'equilibrio il campo totale interno è zero.

Forza elettromotrice

La forza elettromotrice (f.e.m.) è l'integrale del campo generatore lungo una linea interna al generatore, dal morsetto $B$ (quello $-$ ) al morsetto $A$ (quello $+$ ):

$e(t) = \int_{B,\ell}^{A} \mathbf E_g \cdot d\boldsymbol\ell$

Nonostante il nome non è una forza: si misura in volt.

La f.e.m. è uguale alla tensione a vuoto. La tensione a vuoto $v_0$ tra $A$ e $B$ si calcola con il campo coulombiano (fuori dal generatore il campo è solo coulombiano). Siccome $\mathbf E_c$ è conservativo, l'integrale non dipende dal percorso: si può calcolare lungo una linea esterna oppure lungo una linea interna:

$v_0(t) = \int_A^B \mathbf E_c \cdot d\boldsymbol\ell = \int_B^A (-\mathbf E_c) \cdot d\boldsymbol\ell$

(nel secondo passaggio si è invertito il verso di integrazione cambiando segno all'integrando). Dentro il generatore $-\mathbf E_c = \mathbf E_g$ , quindi l'ultimo integrale è proprio la f.e.m.:

$\boxed{\,e(t) = v_0(t)\,}$

La f.e.m. di un generatore è la tensione che un voltmetro (ideale) misura ai suoi morsetti quando il generatore è a vuoto.

Comportamento a carico

Il generatore è a carico quando i suoi morsetti sono attraversati da corrente (è collegato a qualcosa). Ora la tensione ai morsetti è diversa da quella a vuoto:

$v(t) \neq e(t) = v_0(t)$

perché la corrente, passando dentro il generatore, incontra fenomeni dissipativi (il materiale interno ha una sua resistenza).

Per molti generatori (per esempio quelli elettrochimici) in regime stazionario la differenza tra vuoto e carico è proporzionale alla corrente $I$ che attraversa il generatore (convenzione del generatore: $I$ esce dal $+$ ):

$E - V = R_i\,I \qquad\Longleftrightarrow\qquad V = E - R_i\,I$

$R_i$ si chiama resistenza interna del generatore.

Bilancio di potenza

Moltiplicando per $I$ :

$V I = E I - R_i I^2$

Con la convenzione del generatore e $V, E, I$ concordi (per esempio tutti positivi):

$P_g = E\,I$ è la potenza generata, cioè trasferita alle cariche dalla forza generatrice;
$P_d = R_i\,I^2$ è la quota dissipata dentro il generatore (effetto Joule interno);
$P = V\,I = P_g - P_d$ è la potenza erogata al circuito esterno.

Se invece $V$ e $I$ sono discordi, la potenza uscente $VI$ è negativa: il generatore assorbe potenza dal circuito (è quello che succede a una batteria in carica).

Generatore ideale di tensione (GIT)

È il bipolo con equazione

$v(t) = e(t) \qquad \forall\, i(t)$

La tensione è impressa: non dipende dalla corrente, che è decisa dal resto del circuito.
La f.e.m. può essere costante ( $V = E$ ) o variabile nel tempo (per esempio sinusoidale).
Caratteristica nel piano $v$ – $i$ : una retta parallela all'asse delle correnti, all'altezza $v = e$ . Non passa per l'origine, tranne nel caso limite $e = 0$ (in cui il GIT diventa un cortocircuito).
È attivo: può erogare (e assorbire) lavoro senza limiti.
È il modello di un generatore reale quando la potenza dissipata internamente è trascurabile ( $R_i = 0$ ).

Simbolo: un cerchio con i segni $+$ e $-$ dentro, che indicano il verso della f.e.m.

Potenza. Con la convenzione del generatore la potenza uscente è

$p_u = v\,i = e\,i$

ed è positiva (erogata) o negativa (assorbita) a seconda che $e$ e $i$ siano concordi o discordi. Il segno lo decide il circuito, non il generatore.

Riferimenti.

Invertendo il riferimento di corrente la caratteristica non cambia ( $v = e$ vale per ogni $i$ , positiva o negativa).
Invertendo il riferimento di tensione si ha $v = -e$ : la caratteristica si ribalta rispetto all'asse delle correnti.

Generatore affine di tensione (GAT)

Un generatore reale fa due cose: genera e dissipa. Per rappresentarle entrambe si usa il bipolo (convenzione del generatore)

$V = E - R_i\,I$

detto generatore affine di tensione ("affine" perché la caratteristica è una retta che non passa per l'origine). Equivale a un GIT di f.e.m. $E$ in serie a un resistore $R_i$ .

Caratteristica: retta che taglia l'asse $V$ in $E$ (a vuoto, $I = 0$ ) e scende con pendenza $R_i$ . Taglia l'asse $I$ in $I_{cc} = E / R_i$ , la corrente di cortocircuito (quella che scorre con i morsetti collegati da un filo, $V = 0$ ).
Se $R_i = 0$ il GAT si riduce a un GIT.

Il punto di lavoro: pila e lampadina

Si collega una pila a una lampadina e si risolve il circuito con i due modelli della pila.

Dati.

Pila alcalina (convenzione del generatore): f.e.m. $E = 1{,}5\ \mathrm V$ , resistenza interna $R_i = 150\ \mathrm{m\Omega} = 0{,}15\ \Omega$ .
Lampadina (convenzione dell'utilizzatore), modellata come resistore: tensione nominale $V_n = 1{,}5\ \mathrm V$ , potenza nominale $P_n = 0{,}45\ \mathrm W$ . Da $P = V^2/R$ : $R = \frac{V_n^2}{P_n} = \frac{1{,}5^2}{0{,}45} = \frac{2{,}25}{0{,}45} = 5\ \Omega$

Equazioni topologiche. I due bipoli sono collegati morsetto a morsetto, quindi hanno la stessa tensione e la stessa corrente: $V_1 = V_2 = V$ , $I_1 = I_2 = I$ (la corrente esce dal $+$ della pila ed entra nel $+$ della lampadina).

Soluzione 1: pila come GIT

$V_1 = E, \qquad V_2 = R\,I_2$

$V = E = 1{,}5\ \mathrm V, \qquad I = \frac ER = \frac{1{,}5}{5} = 0{,}3\ \mathrm A, \qquad P = \frac{V^2}{R} = \frac{2{,}25}{5} = 0{,}45\ \mathrm W$

Soluzione 2: pila come GAT

$V_1 = E - R_i I_1, \qquad V_2 = R\,I_2$

Uguagliando le tensioni: $E - R_i I = R I$ , quindi

$I = \frac{E}{R_i + R} = \frac{1{,}5}{5{,}15} \approx 0{,}291\ \mathrm A, \qquad V = R\,I \approx 1{,}456\ \mathrm V, \qquad P = \frac{V^2}{R} \approx 0{,}424\ \mathrm W$

Interpretazione grafica

Il punto di lavoro è la coppia $(I, V)$ che soddisfa contemporaneamente l'equazione del generatore e quella del carico: graficamente è l'intersezione delle due caratteristiche nel piano $I$ – $V$ .

Con il GIT: retta orizzontale $V = 1{,}5$ e retta del carico $V = 5I$ si incontrano in $(0{,}3\ \mathrm A;\ 1{,}5\ \mathrm V)$ .
Con il GAT: la retta $V = 1{,}5 - 0{,}15\,I$ scende leggermente e incontra $V = 5I$ in $(0{,}291\ \mathrm A;\ 1{,}456\ \mathrm V)$ .

Grafico interattivo: Caratteristica del GAT V = 1,5 − 0,15·I (I in ascissa): il punto di lavoro con la lampadina è a I ≈ 0,291 A, dove V ≈ 1,456 V

La differenza tra i due modelli è piccola (circa il $3\%$ sulla corrente) perché $R_i \ll R$ : il GIT è un'ottima approssimazione quando il carico ha resistenza molto più grande di quella interna del generatore.

Limiti dei modelli

Anche il GAT è un'approssimazione:

la f.e.m. cala nel tempo perché la pila si scarica: $E = E(t)$ ;
la relazione lineare $R_i = (E - V)/I$ vale solo per correnti piccole rispetto a quella nominale $I_n$ ; per correnti grandi la caratteristica reale si incurva;
anche la resistenza della lampadina non è costante: il filamento si scalda per effetto Joule e la sua resistività aumenta (vedi Resistore e legge di Ohm).

Errori comuni

Scrivere $V = E + R_i I$ : con la convenzione del generatore la caduta interna sottrae tensione. Con la convenzione dell'utilizzatore invece l'equazione diventa $V = E + R_i I$ (la corrente entra dal $+$ ).
Pensare che il GIT eroghi sempre potenza. Può anche assorbirla: dipende dal verso della corrente imposto dal circuito.
Chiamare "forza" la f.e.m.: è una tensione, in volt.