Esercizio 1.15 - partitore di corrente e amperometro

Testo (Eserciziario, es. 1.15). La rete è a regime stazionario, con $J = 6\ \mathrm A$, $R_1 = R_2 = R_3 = 5\ \Omega$. Calcolare il valore $I_A$ misurato dall'amperometro ideale.

Figura (descritta). Filo superiore e filo inferiore. Da sinistra: $R_1$ in verticale tra i due fili; il GIC $J$ in verticale tra i due fili con la freccia verso l'alto; poi, sul filo superiore, $R_2$ in orizzontale seguito dall'amperometro (morsetto $-$ a sinistra, verso $R_2$, e $+$ a destra); a destra $R_3$ in verticale che scende al filo inferiore.

   ┌───────┬───/\/\/──(−)A(+)──┐
   │       │     R2             │
   R1     (↑) J                 R3
   │       │                    │
   └───────┴────────────────────┘

Risultato: $I_A = -2\ \mathrm A$.

Teoria: Partitori di tensione e di correnteIn una serie di resistori la tensione totale si divide in proporzione alle resistenze: v_k = R_k/R_s · v_s (per due: v_1 = R_1/(R_1+R_2) · v_s). In un parallelo la corrente totale si divide in proporzione alle conduttanze: i_k = G_k/G_p · i_p (per due: i_1 = R_2/(R_1+R_2) · i_p, con la resistenza dell'altro ramo al numeratore). Le formule valgono con i riferimenti "naturali": se il riferimento chiesto è opposto, si cambia segno.Partitori di tensione e di corrente →, Bipoli adinamici, GIC e diodo idealeUn bipolo adinamico lega solo i valori istantanei di tensione e corrente, f(v,i) = 0, e si rappresenta con una curva nel piano v-i (caratteristica esterna). Oltre a resistore, cortocircuito, circuito aperto e GIT ci sono il GIC (i = j per ogni v), l'interruttore (aperto o chiuso a seconda dell'istante) e il diodo ideale (circuito aperto per v < 0, cortocircuito per i > 0). Un bipolo è controllato in corrente se v si può scrivere come funzione di i, controllato in tensione se i si può scrivere come funzione di v.Bipoli adinamici, GIC e diodo ideale →.

1. Che cosa fa l'amperometro

Un amperometro ideale ha tensione nulla ai capi: equivale a un cortocircuito. Misura la corrente che lo attraversa con il riferimento dal suo $+$ al suo $-$: qui dal morsetto di destra verso quello di sinistra, cioè $I_A$ scorre nel filo superiore verso sinistra (da $R_3$ verso $R_2$).

2. Ridurre la rete

Sostituito l'amperometro con un filo, $R_2$ e $R_3$ sono uno dopo l'altro sul percorso che va dal filo superiore (vicino al GIC) al filo inferiore, senza altri collegamenti nel nodo in mezzo: sono in serie.

$$R_A = R_2 + R_3 = 5 + 5 = 10\ \Omega$$

Restano tre bipoli tra i due fili: $R_1$, il GIC e $R_A$. Sono tutti in parallelo, e la corrente che il GIC spinge nel filo superiore è $J = 6\ \mathrm A$ (la freccia punta in alto).

3. Il partitore di corrente

La corrente $J$ entra nel nodo superiore e si divide tra $R_1$ e $R_A$. Con i riferimenti "naturali" (dal nodo superiore verso quello inferiore in ciascun ramo):

$$I_{R_A} = \frac{R_1}{R_1 + R_A}\, J = \frac{5}{5 + 10} \cdot 6 = 2\ \mathrm A$$

(al numeratore c'è la resistenza dell'altro ramo, $R_1$). Per controllo, in $R_1$ passano $\frac{10}{15} \cdot 6 = 4\ \mathrm A$, e $4 + 2 = 6$ ✓.

4. Il segno della lettura

Nel ramo di destra la corrente di $2\ \mathrm A$ va dal nodo superiore verso quello inferiore: nel filo superiore scorre verso destra (passa per $R_2$, poi per l'amperometro, poi scende in $R_3$). L'amperometro ha il riferimento verso sinistra: è opposto.

$$\boxed{I_A = -2\ \mathrm A}$$

Errori comuni

• Usare $R_2$ o $R_3$ da soli nel partitore: in quel ramo c'è la loro serie, $10\ \Omega$.
• Mettere al numeratore la resistenza dello stesso ramo ($R_A$) e ottenere $4\ \mathrm A$: è la corrente nell'altro ramo.
• Dimenticare il verso dell'amperometro.